Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die eine Richtung wurde bereits in Fakt bewiesen.
Es sei also umgekehrt ${}M$ orientierbar und ein abzählbarer orientierter Atlas ${}(U_{i},V_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, von ${}M$ gegeben. Dabei ist ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und die Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ definieren eine nullstellenfreie stetige (sogar beliebig oft differenzierbare) Volumenfom ${}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ auf ${}V_{i}$. Wir setzen

${}\omega _{i}=\alpha _{i}^{*}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf ${}U_{i}$, die wir außerhalb von ${}U_{i}$ durch ${}0$ fortsetzen.

Es sei nun ${}h_{j}$, ${}j\in J$, eine der Überdeckung ${}U_{i}$, ${}i\in I$, untergeordnete, stetig differenzierbare Partition der Eins, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es also für jedes ${}j$ ein ${}i(j)$ derart, dass der Träger von ${}h_{j}$ in ${}U_{i(j)}$ liegt. Daher sind die ${}h_{j}\omega _{i(j)}$ stetige ${}n$-Differentialformen auf ${}M$. Wir setzen

${}\omega =\sum _{j\in J}h_{j}\omega _{i(j)}\,.$

Dies ist für jeden Punkt ${}P\in M$ eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige ${}n$-Differentialform auf ${}M$. Für einen Punkt ${}P\in M$ und eine die Orientierung repräsentierende Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}T_{P}M$ ist

${}\omega (P;v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{j\in J}h_{j}(P)\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$

Dabei gibt es ein ${}j$ mit ${}h_{j}(P)>0$, und für dieses ${}j$ ist auch ${}\omega _{i(j)}(P;v_{1},\ldots ,v_{n})>0$, da ja ${}P\in U_{j}$ liegt, so dass diese Form überall positiv ist.

Zur bewiesenen Aussage