Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Die eine Richtung wurde bereits in Fakt bewiesen.
Es sei also umgekehrt orientierbar und ein abzählbarer orientierter Atlas , , von gegeben. Dabei ist offen und die Koordinaten definieren eine nullstellenfreie stetige (sogar beliebig oft differenzierbare) Volumenfom auf . Wir setzen

und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf , die wir außerhalb von durch fortsetzen.

Es sei nun , , eine der Überdeckung , , untergeordnete, stetige Partition der Eins, die es nach Fakt gibt. Insbesondere gibt es also für jedes ein derart, dass der Träger von in liegt. Daher sind die stetige -Differentialformen auf . Wir setzen

Dies ist für jeden Punkt eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige -Differentialform auf . Für einen Punkt und eine die Orientierung repräsentierende Basis von ist

Dabei gibt es ein mit , und für dieses ist auch , so dass diese Form überall positiv ist.

Zur bewiesenen Aussage