Orientierung/Vektorräume/Orientierungstreu/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$, die die Orientierung auf ${}V$ repräsentiert, die Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe Aufgabe. Bei einem Automorphismus ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ kann man direkt von orientierungstreu sprechen, ohne zuvor eine Orientierung auszuzeichen. Orientierungstreu liegt vor, wenn jede Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ zu ihrer Bildbasis ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ orientierungsgleich ist. Dies kann man einfach mit der folgenden Beobachtung überprüfen.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann orientierungstreu, wenn die Determinante von ${}\varphi$ positiv ist.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Wegen der Bijektivität von ${}\varphi$ bilden auch die Bilder

$\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$

eine Basis von ${}V$. Es sei

${}\varphi (v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

so dass

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,$

die beschreibende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ist. Diese Matrix ist auch die Basiswechselmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {\varphi (v)}}$. Die Positivität der Determinante dieser Übergangsmatrix bedeutet nach Definition, dass die beiden Basen die gleiche Orientierung repräsentieren.

$\Box$

Wenn auf ${}V$ ein Skalarprodukt ausgezeichnet und ${}\varphi$ eine Isometrie ist, so bedeutet positive Determinante nach Fakt einfach, dass die Determinante gleich ${}1$ ist. In diesem Zusammenhang stimmt also orientierungsgleich und eigentlich überein.