Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt ist eine stetige Abbildung

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn die Integralgleichung

erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung (man spricht von einem Funktional)

einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in (aus einem gewissen Teilintervall von mit Werten in ). mit Werten in . Die Fixpunkteigenschaft bedeutet gerade, dass ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach definieren, diesen metrischen Raum dann als vollständig und das Funktional als stark kontrahierend nachweisen. Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung

und ein mit

für alle und . Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von , also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in liegt. Aufgrund von Fakt gibt es ein mit

(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt). Wir ersetzen nun durch ein kleineres Intervall mit , und .
Wir betrachten nun die Menge der stetigen Abbildungen

Dabei wird also mit der Maximumsnorm auf versehen. Dieser Raum ist nach Fakt und nach Aufgabe wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall bzw. der zugehörigen Menge die Abbildung

Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass wieder zu gehört. Für ist aber nach Fakt

und ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien gegeben. Für ein ist

Da dies für jedes gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt

d.h. es liegt eine starke Kontraktion vor. Daher besitzt ein eindeutiges Fixelement , und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von .
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder

und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu gehören muss.
Zur bewiesenen Aussage