Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt ist eine stetige Abbildung

$v:J⟶V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn $v$ die Integralgleichung

$v(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds$

erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung (man spricht von einem Funktional)

$\psi ⟼(t\mapsto w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds)$

einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$ (aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$). Die Fixpunkteigenschaft  $H(\psi )=\psi$  bedeutet gerade, dass  $\psi (t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds$  ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können, müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als vollständig und das Funktional als stark kontrahierend nachweisen. Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung

$(t_0,w)\in J^{\prime }\times U(w,ϵ)\subseteq I\times U$

und ein  $L\in {ℝ}_{\ge 0}$  mit

$\Vert f(t,v)-f(t,\tilde{v})\Vert \le L\Vert v-\tilde{v}\Vert$

für alle $t\in J^{\prime }$ und $v,\tilde{v}\in U(w,ϵ)$. Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von $J^{\prime }\times U(w,ϵ)$, also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in $I\times U$ liegt. Aufgrund von Fakt gibt es ein  $M\in {ℝ}_{+}$  mit

$\Vert f(t,v)\Vert \le M\text{ für alle }(t,v)\in J^{\prime }\times U(w,ϵ)$

(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt). Wir ersetzen nun $J^{\prime }$ durch ein kleineres Intervall

$J=[t_0-\delta ,t_0+\delta ]\subseteq J^{\prime }$

mit  $\delta >0$,   $\delta \le ϵ/M$  und  $\delta \le 1/(2L)$. 
Wir betrachten nun die Menge der stetigen Abbildungen

$\begin{array}{cc}C& =\{\psi :J\to V\mid \psi \text{ stetig},\Vert \psi (t)-w\Vert \le ϵ\text{ für alle }t\in J\}\\ & =\{\psi :J\to V\mid \psi \text{ stetig},\Vert \psi -w\Vert \le ϵ\}.\end{array}$

Dabei wird also $C$ mit der Maximumsnorm auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach Fakt und nach Aufgabe wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung

$H:C⟶C,\psi ⟼H(\psi )=(t\mapsto w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds).$

Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass $H(\psi )$ wieder zu $C$ gehört. Für  $t\in J$  ist aber nach Fakt

$\begin{array}{cc}\Vert H(\psi )(t)-w\Vert & =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds\Vert \\ & \le |{\int }_{t_0}^t\Vert f(s,\psi (s))\Vert ds|\\ & \le |t-t_0|M\\ & \le \frac{ϵ}{M}M\\ & =ϵ,\end{array}$

und $H(\psi )$ ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien  ${\psi }_1,{\psi }_2\in C$  gegeben. Für ein  $t\in J$  ist

$\begin{array}{cc}\Vert H({\psi }_1)(t)-H({\psi }_2)(t)\Vert & =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(s,{\psi }_1(s))ds-{\int }_{t_0}^{t}f(s,{\psi }_2(s))ds\Vert \\ & =\Vert {\int }_{t_0}^t(f(s,{\psi }_1(s))-f(s,{\psi }_2(s)))ds\Vert \\ & \le |{\int }_{t_0}^t\Vert f(s,{\psi }_1(s))-f(s,{\psi }_2(s))\Vert ds|\\ & \le |{\int }_{t_0}^{t}L\Vert {\psi }_1(s)-{\psi }_2(s)\Vert ds|\\ & =L\cdot |{\int }_{t_0}^t\Vert {\psi }_1(s)-{\psi }_2(s)\Vert ds|\\ & \le L\cdot |{\int }_{t_0}^t\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert ds|\\ & \le L|t-t_0|\cdot \Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert .\end{array}$

Da dies für jedes  $t\in J$  gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt

$\Vert H({\psi }_1)-H({\psi }_2)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert ,$

d.h. es liegt eine starke Kontraktion vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement  $\psi \in C$,  und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung $v:J\to V$ gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder

$v(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds$

und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.

Zur bewiesenen Aussage