Polynomring/Höchste lokale Kohomologie/Differentialoperatoren/Isomorphe Situation/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und es seien ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}],K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ und ${}K[D_{1},\ldots ,D_{d}]$ Polynomringe in ${}d$ Variablen. Es sei ${}H$ der in Aufgabe beschriebene ${}K$-Vektorraum mit der natürlichen ${}K[X_{1},\ldots ,X_{d}]$-Modulstruktur. Der Polynomring ${}K[D_{1},\ldots ,D_{d}]$ wirke auf dem Polynomring ${}K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]$ dadurch, dass die ${}D_{i}$ die Wirkungsweise der ${}i$-ten partiellen Ableitung übernehmen, also ${}D_{i}=\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial Y_{i}}}$. Zeige, dass mit der Zuordnung ${}D_{i}\mapsto X_{i}$ und der Zuordnung ${}\theta \colon K[Y_{1},\ldots ,Y_{d}]\rightarrow H$ aus Aufgabe ein Modulisomorphismus vorliegt.

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