Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über ${}K$. Es sei ${}G$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$.

Dann gibt es eine Darstellung

${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

mit ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.

Beweis

Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen

${}I={\left\{Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\mid Q_{i}\in K[X]\right\}}\,.$

Dies ist ein Ideal von ${}K[X]$, wie man direkt überprüft. Nach Fakt ist dieses Ideal ein Hauptideal, also

${}I=(E)\,$

mit einem gewissen Polynom ${}E$. Es ist ${}E$ ein gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$. Wegen ${}P_{i}\in I=(E)$ ist nämlich

${}P_{i}=H_{i}E\,,$

d.h. ${}E$ ist ein Teiler von jedem ${}P_{i}$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist

${}P_{i}\in (G)\,$

für alle ${}i$ und damit auch

${}(E)=I\subseteq (G)\,.$

Also ist

${}E=GF\,.$

Da nach Voraussetzung ${}G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss ${}F\neq 0$ eine Konstante sein. Also ist

${}(G)=(E)=I\,$

und insbesondere ${}G\in I$. Also ist ${}G$ eine Linearkombination der ${}P_{i}$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ teilerfremde Polynome über ${}K$.

Dann gibt es eine Darstellung

${}Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}=1\,$

mit ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Bemerkung  

Zu gegebenen Polynomen ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ lässt sich sowohl der größte gemeinsame Teiler ${}G$ bestimmen als auch eine Darstellung

${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

wie in Fakt explizit angegeben. Dazu kann man sich auf ${}n=2$ beschränken. Es sei der Grad von ${}P_{1}$ mindestens so groß wie der Grad von ${}P_{2}$. Die Division mit Rest liefert

${}P_{1}=P_{2}H_{2}+R_{2}\,$

mit einem Restpolynom, dessen Grad kleiner als der Grad von ${}P_{2}$ ist bzw. das ${}0$ ist. Entscheidend ist, dass die Ideale

${}(P_{1},P_{2})=(P_{2},R_{2})\,$

und damit der größte gemeinsame Teiler von ${}P_{1}$ und ${}P_{2}$ und von ${}P_{2}$ und ${}R_{2}$ übereinstimmen. Nun führt man die Division mit Rest durch, bei der ${}P_{2}$ durch ${}R_{2}$ mit dem Rest ${}R_{3}$ geteilt wird, wobei wiederum das Ideal ${}(R_{2},R_{3})$ mit dem Ausgangsideal übereinstimmt. So erhält man eine Folge von Restpolynomen

$R_{0}=P_{1},R_{1}=P_{2},R_{2},\ldots ,R_{k}\neq 0,0,$

wobei zwei benachbarte Reste das gleiche Ideal erzeugen. Es ist dann ${}R_{k}$ (also der letzte von ${}0$ verschiedene Rest) der größte gemeinsame Teiler von ${}R_{0}$ und ${}R_{1}$. Eine Darstellung von ${}R_{k}$ als Linearkombination der ${}R_{0},R_{1}$ erhält man, indem man die Gleichungen, die die Division mit Rest beschreiben, von unten nach oben zurückarbeitet.

Das in der vorstehenden Bemerkung beschriebene Verfahren heißt euklidischer Algorithmus. Es gilt entsprechend auch für ganze Zahlen.

Beispiel

Wir möchten den größten gemeinsamen Teiler für die beiden Polynome ${}X^{2}+X+1$ und ${}X-1$ aus ${}\mathbb {Q} [X]$ berechnen. Dazu führt man die Division mit Rest durch und erhält

${}X^{2}+X+1={\left(X+2\right)}{\left(X-1\right)}+3\,.$

Daher sind die beiden Polynome teilerfremd. Eine Darstellung der ${}1$ ist

${}1={\frac {1}{3}}{\left(X^{2}+X+1\right)}-{\frac {1}{3}}{\left(X+2\right)}{\left(X-1\right)}\,.$