Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik ${}p$ und ${}I\subseteq R$ ein Ideal. Dann nennt man das Erweiterungsideal von ${}I$ unter dem ${}e$-ten Frobeniushomomorphismus

$F^{e}\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p^{e}},$

die ${}p^{e}$-Frobeniuspotenz von ${}I$. Sie wird mit ${}I^{[p^{e}]}$ bezeichnet.

Üblicherweise schreibt man ${}q=p^{e}$ und somit ${}I^{[q]}$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik ${}p$ und ${}I\subseteq R$ ein Ideal. Dann gelten für die Frobeniuspotenzen folgende Eigenschaften (${}q=p^{e}$).

1. Es ist

   ${}I^{[q]}=(f^{q}:\,f\in I)\,.$

2. Wenn

   ${}I=(f_{1},\ldots ,f_{n})\,$

   ein Idealerzeugendensystem ist, so ist

   ${}I^{[q]}=(f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q})\,.$

3. Für ${}e'\geq e$ und ${}q'=p^{e'}$ gilt

   ${}I^{[q']}\subseteq I^{[q]}\,.$

Beweis

1. Dies ist eine Umformulierung der Definition.
2. Die Inklusion ${}\supseteq$ ist klar. Es genügt zu zeigen, dass die Idealerzeuger aus Teil (1) mit den angegebenen Erzeugern dargestellt werden kann. Es sei dazu ${}f\in I$. Dann ist

   ${}f=a_{1}f_{1}+\cdots +a_{n}f_{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in R$ und somit

   ${}f^{q}=a_{1}^{q}f_{1}^{q}+\cdots +a_{n}^{q}f_{n}^{q}\,,$

   also ${}f^{q}\in (f_{1}^{q},\ldots ,f_{n}^{q})$.

3. Unter der gegebenen Voraussetzung ist

   ${}q'=p^{e'}=p^{e+(e'-e)}=p^{e}p^{e'-e}=qu\,$

   (mit ${}u=p^{e'-e}\geq 1$) und somit

   ${}f^{q'}=f^{qu}={\left(f^{q}\right)}^{u}=f^{q}{\left(f^{q}\right)}^{u-1}\,,$

   also

   ${}f^{q'}\in I^{[q]}\,.$

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Obwohl die Frobeniuspotenzen als Erweiterungsideale definiert sind, werden sie mit wachsendem Exponenten zunehmend kleiner.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik ${}p$ und ${}I={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}\subseteq R$ ein Ideal.

Dann gilt für die Frobeniuspotenzen und den gewöhnlichen Potenzen die Beziehungen (mit ${}q=p^{e}$).

${}I^{nq}\subseteq I^{[q]}\subseteq I^{q}\,.$

Beweis

Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger ${}f^{q}$, ${}f\in I$, der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz ${}I^{q}$ gehören. Die Produkte ${}f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}$ mit

${}r_{1}+\cdots +r_{n}=nq\,$

bilden ein Idealerzeugendensystem von ${}I^{nq}$. Da ${}n$ Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich ${}q$ sein. Sagen wir ${}r_{1}\geq q$. Dann ist

${}f_{1}^{r_{1}}\cdots f_{n}^{r_{n}}=f_{1}^{q}\cdot f_{1}^{r_{1}-q}f_{2}^{r_{2}}\cdots f_{n}^{r_{n}}\in I^{[q]}\,.$

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