Positive Charakteristik/Frobeniuspotenz/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik und ein Ideal. Dann nennt man das Erweiterungsideal von unter dem -ten Frobeniushomomorphismus

die -Frobeniuspotenz von . Sie wird mit bezeichnet.

Üblicherweise schreibt man und somit .



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik und ein Ideal. Dann gelten für die Frobeniuspotenzen folgende Eigenschaften ().

  1. Es ist
  2. Wenn

    ein Idealerzeugendensystem ist, so ist

  3. Für und gilt

Beweis  

  1. Dies ist eine Umformulierung der Definition.
  2. Die Inklusion ist klar. Es genügt zu zeigen, dass die Idealerzeuger aus Teil (1) mit den angegebenen Erzeugern dargestellt werden kann. Sei dazu . Dann ist

    mit und somit

    also .

  3. Unter der gegebenen Voraussetzung ist

    (mit ) und somit

    also


Obwohl die Frobeniuspotenzen als Erweiterungsideale definiert sind, werden sie mit wachsendem Exponenten zunehmend kleiner.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring in positiver Charakteristik und ein Ideal.

Dann gilt für die Frobeniuspotenzen und den gewöhnlichen Potenzen die Beziehungen (mit ).

Beweis  

Die rechte Inklusion ist klar, da die Erzeuger , , der Frobeniuspotenzen auch zur gewöhnlichen Potenz gehören. Die Produkte mit

bilden ein Idealerzeugendensystem von . Da Summanden vorliegen, muss einer davon größergleich sein. Sagen wir . Dann ist