Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Reelle Zahlen/Textabschnitt

Beispiel

Die Symbolmenge ${}S$ bestehe aus ${}0,1,+,\cdot$ (und abzählbar unendlich vielen Variablen), die in den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge

${}\Gamma =\mathbb {R} ^{\vDash }\,$

ist somit widerspruchsfrei. Der Beweis zu Fakt zeigt, dass es dann eine abzählbare Symbolerweiterung ${}S'\supseteq S$ und eine ${}S'$-Ausdrucksmenge ${}\Gamma '$ gibt, die Beispiele enthält (es ist nicht selbstverständlich, ob ${}\Gamma$ selbst Beispiele enthält. Da es überabzählbar viele reelle Zahl gibt, liegt nicht jede reelle Zahl im Bild der Terminterpretation, sodass man Fakt nicht anwenden kann), und die nach Fakt zu einer maximal widerspruchsfreien Ausdrucksmenge ergänzt werden kann. Nach dem Satz von Henkin gibt es ein erfüllendes Modell, das aus Identifizieren von Termen entsteht. Da die Termmenge abzählbar ist, ist auch dieses Modell abzählbar. Es gibt daher ein abzählbares Nichtstandardmodell der reellen Zahlen.

Die Menge der rationalen Zahlen bilden einen abzählbaren angeordneten Körper, aber kein Nichtstandardmodell der reellen Zahlen, da ja beispielsweise die Aussage ${}\exists x(x^{2}=2)$ in ${}\mathbb {R}$ gilt, aber nicht in ${}\mathbb {Q}$. Wichtige erststufige Aussagen, die in ${}\mathbb {R}$ und damit auch in jedem Nichtstandardmodell gelten, fassen wir in folgender Proposition zusammen.

Proposition

Für die reellen Zahlen gelten folgende Aussagen über dem Symbolalphabet ${}S=\{0,1,+,\cdot ,x_{n},n\in \mathbb {N} \}$

1. Die Axiome eines angeordneten Körpers.
2. Für jedes ungerade ${}n\in \mathbb {N}$ gilt

   $\forall c_{0}\forall c_{1}\ldots \forall c_{n}{\left({\left(c_{n}\neq 0\right)}\rightarrow \exists x{\left(c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}=0\right)}\right)}.$

3. Für jedes gerade ${}n\in \mathbb {N}$ gilt

   $\forall x{\left(\exists y{\left({\left(y^{n}=x\right)}\vee {\left(y^{n}=-x\right)}\right)}\right)}.$

4. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ in einer freien Variablen ${}x$ gilt

   $\exists x\alpha \wedge \exists b\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq b\right)}\rightarrow \exists s{\left(\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq s\right)}\wedge \forall c\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq c\right)}\rightarrow s\leq c\right)}.$

5. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ in einer freien Variablen ${}x$ gilt

   ${\left(\exists x\alpha \wedge \exists x\neg \alpha \wedge \forall x\forall y{\left(x\leq y\rightarrow {\left(\alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \alpha \right)}\right)}\wedge \forall x\forall y{\left(y\leq x\rightarrow {\left(\neg \alpha {\frac {y}{x}}\rightarrow \neg \alpha \right)}\right)}\right)}\rightarrow \exists s{\left(\forall x{\left(\alpha \rightarrow x\leq s\right)}\wedge \forall x{\left(\neg \alpha \rightarrow x\geq s\right)}\right)}.$

Beweis

(1) ist in der Axiomatik der reellen Zahlen enthalten.
(2) folgt aus dem Zwischenwertsatz, der Stetigkeit von Polynomen und dem Verhalten von Polynomen von ungeradem Grad gegen ${}\pm \infty$.
(3) folgt aus wiederholter Anwendung von Fakt und Teil (2).
(4) ist eine Formulierung von Fakt für solche Teilmengen, die in der ersten Stufe beschrieben werden können.
(5) folgt aus dem Dedekindschen Schnittaxiom.

$\Box$

Diese Eigenschaften (insbesondere die beiden letzten) sind ein erststufiger Ersatz für die Vollständigkeit (ähnlich wie das Axiomenschema der Induktion in den erststufigen Peano-Axiomen ein Ersatz für die zweitstufige Induktion der Dedekind-Peano Axiome ist). Das Archimedes-Axiom, also dass es zu jeder reellen Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ eine natürliche Zahl ${}n\geq x$ gibt, lässt sich nicht erststufig charakterisieren, da dies für die natürlichen Zahlen nicht möglich ist. Wir betrachten zu ${}n\in \mathbb {N}$ den Ausdruck

${}p_{n}=\exists x{\left(x\geq n\right)}\,,$

wobei ${}n$ durch die ${}n$-fache Addition der ${}1$ mit sich selbst repräsentiert wird. Eine Aussage wie „${}\!\!\exists x\forall n(x\geq n)$“, was nichtarchimedisch bedeutet (${}n$ soll hier eine natürliche Zahl sein), ist nicht erststufig formulierbar.

Beispiel

Die Symbolalphabet ${}S$ bestehe aus den Zeichen ${}0,1,+,\cdot$ (und abzählbar unendlich vielen Variablen), die in den reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ in natürlicher Weise interpretiert werden. Die Ausdrucksmenge

${}\Gamma =\mathbb {R} ^{\vDash }\,$

ist somit widerspruchsfrei. Wir betrachten für ${}n\in \mathbb {N}$ den Ausdruck

${}\beta _{n}=x\geq n\,.$

Es sei ${}\Gamma '$ die Vereinigung von ${}\Gamma$ mit ${}{\left\{\beta _{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$. Jede endliche Teilmenge von ${}\Gamma '$ ist erfüllbar (nämlich in ${}\mathbb {R}$), also ist nach Fakt auch ${}\Gamma '$ erfüllbar. Es gibt also eine ${}S$-Struktur ${}M$, in der alle erststufigen Sätze von ${}\mathbb {R}$ gelten und auch alle ${}x\geq n$ bei geeigneter Belegung gelten, d.h. es gibt ein Element ${}m\in M$, das jenseits jeder natürlichen Zahl liegt. Insbesondere ist ${}M$ ein nicht-archimedisch angeordneter Körper.

Definition

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt reell-abgeschlossen, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Jedes nichtnegative Element aus ${}K$ besitzt eine Quadratwurzel in ${}K$.
2. Jedes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ungeradem Grad besitzt in ${}K$ eine Nullstelle.

Man kann zeigen, dass ein reell-abgeschlossener Körper ${}K$ elementar äquivalent zu den reellen Zahlen ist und insbesondere die oben angeführten Eigenschaften besitzt. Eine wichtige Eigenschaft ist ferner, dass ${}K[{\mathrm {i} }]$ algebraisch abgeschlossen ist (d.h. durch Hinzunahme eines Elementes ${}{\mathrm {i} }$ mit ${}{\mathrm {i} }^{2}=-1$ wird der Körper algebraisch abgeschlossen). Ein (abzählbares Modell) eines reell-abgeschlossenen Körpers sind die reellen algebraischen Zahlen, also alle reellen Zahlen, die Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind. Dies ist zugleich der kleinste reell-abgeschlossene Körper. Da die Zahlen ${}\pi$ und ${}e$ transzendent sind, folgt, dass diese Zahlen nicht erststufig charakterisierbar sind. Eine Besonderheit der Theorie der reell-abgeschlossenen Körper ist, dass es dafür eine Entscheidungsprozedur gibt, d.h. es gibt einen maschinell durchführbaren Algorithmus, die Quantorenelimination, der für jeden Ausdruck ${}\alpha$ über der erststufigen Sprache zur Symbolmenge ${}\{0,1,+,\cdot ,\geq \}$ entscheidet, ob ${}\alpha$ aus den Axiomen ableitbar ist (äquivalent, in jedem reell-abgeschlossenen Körper gilt) oder nicht. Es gibt also prinzipiell keine erststufig formulierbaren „substantiellen Probleme“ für die reellen Zahlen.