Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine binäre quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in Fakt gezeigt. Es seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ strikt äquivalente Ideale, d.h. es gibt ein  ${}h\in R$  mit positiver Norm und mit  ${}{\mathfrak {b}}=(h){\mathfrak {a}}$.  Für jedes  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  gilt nach Fakt und Fakt

${}{\begin{aligned}{\frac {N(hf)}{N({\mathfrak {b}})}}&={\frac {N(h)N(f)}{N((h){\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(h)N(f)}{N((h))N({\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(h)N(f)}{\vert {N(h)}\vert N({\mathfrak {a}})}}\\&={\frac {N(f)}{N({\mathfrak {a}})}},\end{aligned}}$

daher ist das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathfrak {a}}&{\stackrel {\frac {N(-)}{N({\mathfrak {a}})}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} &\\\!\!\!\!\!\cdot h\downarrow &\nearrow {\frac {N(-)}{N({\mathfrak {b}})}}\!\!\!\!\!&\\{\mathfrak {b}}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutativ. Da die Multiplikation mit ${}h$ ein ${}R$-Modulisomorphismus und insbesondere ein (orientierter) Gruppenisomorphismus zwischen  ${}{\mathfrak {a}}\cong \mathbb {Z} ^{2}$  und  ${}{\mathfrak {b}}\cong \mathbb {Z} ^{2}$  ist, der durch eine Matrix mit Determinante ${}1$ gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt äquivalent sind.

Es sei nun eine einfache binäre quadratische Form ${}ax^{2}+bxy+cy^{2}$ gegeben, deren Diskriminante ${}b^{2}-4ac$ gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich ${}D$ bzw. ${}4D$ sei. Im zweiten Fall ist ${}b$ gerade und somit ist in beiden Fällen ${}{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}$ ein Element aus ${}R$.

Bei  ${}a>0$  betrachten wir

${}{\mathfrak {a}}=\mathbb {Z} a+\mathbb {Z} {\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\,.$

Dies ist ein Ideal.

Wegen Fakt ist

${}N({\mathfrak {a}})=\vert {-a}\vert =a\,,$

${}N(a)=a^{2}\,$

und (für den Fall ${}D=2,3\mod 4$, auf den wir uns hier beschränken)

${}{\begin{aligned}N{\left({\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\right)}&=N{\left({\frac {b-2{\sqrt {D}}}{2}}\right)}\\&={\left({\frac {b}{2}}-{\sqrt {D}}\right)}{\left({\frac {b}{2}}+{\sqrt {D}}\right)}\\&={\frac {b^{2}}{4}}-D\\&={\frac {b^{2}-4D}{4}}\\&={\frac {b^{2}-\triangle }{4}}\\&={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4}}\\&=ac\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}N{\left(a+{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\right)}&=N{\left({\frac {2a+b}{2}}-{\sqrt {D}}\right)}\\&={\left({\frac {2a+b}{2}}\right)}^{2}-D\\&={\frac {4a^{2}+4ab+b^{2}-4D}{4}}\\&={\frac {4a^{2}+4ab+b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4}}\\&=a^{2}+ab+ac.\end{aligned}}$

Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch  ${}N({\mathfrak {a}})=a$  dividiert, so erhält man die Werte ${}a,c$ und ${}a+b+c$, was mit den Koeffizienten der vorgegebenen quadratischen Form übereinstimmt.

Für den Fall  ${}a<0$  setzt man

${}{\mathfrak {a}}={\sqrt {\triangle }}\cdot {\left(a\mathbb {Z} +{\frac {b-{\sqrt {\triangle }}}{2}}\mathbb {Z} \right)}\,,$

siehe Aufgabe.

Schließlich seien Ideale ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {a}}'$ gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt äquivalent sind. Diese strikte Äquivalenz bedeutet, dass sie durch eine Matrix ${}M$ mit Determinante ${}1$ miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation

${\mathfrak {a}}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{2}{\stackrel {M}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow {\mathfrak {a}}'$

vor. Wir multiplizieren das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ mit ${}N({\mathfrak {a}}')$ und das Ideal ${}{\mathfrak {a}}'$ mit ${}N({\mathfrak {a}})$. Dann haben beide neuen Ideale die gleiche Norm, die Matrix überträgt sich entsprechend und somit können wir annehmen, dass eine normerhaltende ${}\mathbb {Z}$-lineare Abbildung

${\mathfrak {a}}\longrightarrow {\mathfrak {a}}'$

vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende ${}\mathbb {Q}$-lineare Abbildung

$\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}].$

Nach Aufgabe ist dies die Multiplikation mit einem Element ${}h$ des Körpers ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ (die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus). Es ist also

${}{\mathfrak {a}}'=(h){\mathfrak {a}}\,.$

Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enthält, muss der Faktor ${}h$ (wie zuvor die Idealnormen) eine positive Norm besitzen.

Zur bewiesenen Aussage