Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine binäre quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in Fakt gezeigt. Es seien und strikt äquivalente Ideale, d.h. es gibt ein mit positiver Norm und mit . Für jedes gilt nach Fakt und Fakt

daher ist das Diagramm

kommutativ. Da die Multiplikation mit ein -Modulisomorphismus und insbesondere ein (orientierter) Gruppenisomorphismus zwischen und ist, der durch eine Matrix mit Determinante gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt äquivalent sind.

Es sei nun eine einfache binäre quadratische Form gegeben, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich bzw. sei. Im zweiten Fall ist gerade und somit ist in beiden Fällen ein Element aus .

Bei betrachten wir

Dies ist ein Ideal.

Wegen Fakt ist

und (für den Fall )

und

Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch dividiert, so erhält man die Werte und , was mit den Werten der vorgegebenen quadratischen Form übereinstimmt.

Für den Fall setzt man

siehe Aufgabe.

Schließlich seien Ideale und gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt äquivalent sind. Diese strikte Äquivalenz bedeutet, dass sie durch eine Matrix mit Determinante miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation

vor. Wir multiplizieren das Ideal mit und das Ideal mit . Dann haben beide Ideale die gleiche Norm, die Matrix überträgt sich entsprechend und somit können wir annehmen, dass eine normerhaltende -lineare Abbildung

vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende -lineare Abbildung

Nach Aufgabe ist dies die Multiplikation mit einem Element des Körpers (die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus). Es ist also

Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enthält, muss der Faktor (wie zuvor die Idealnormen) eine positive Norm besitzen.

Zur bewiesenen Aussage