Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die Zuordnung aus einem Ideal eine binäre quadratische Form mit der entsprechenden Diskriminante macht, wurde in Fakt gezeigt. Es seien $𝔞$ und $𝔟$ strikt äquivalente Ideale, d.h. es gibt ein  $h\in R$  mit positiver Norm und mit  $𝔟=(h)𝔞$.  Für jedes  $f\in 𝔞$  gilt nach Fakt und Fakt

$\begin{array}{cc}\frac{N(hf)}{N(𝔟)}& =\frac{N(h)N(f)}{N((h)𝔞)}\\ & =\frac{N(h)N(f)}{N((h))N(𝔞)}\\ & =\frac{N(h)N(f)}{|N(h)|N(𝔞)}\\ & =\frac{N(f)}{N(𝔞)},\end{array}$

daher ist das Diagramm

$\begin{array}{cccc}𝔞& \stackrel{\frac{N(-)}{N(𝔞)}}{⟶}& \mathbb{Z}& \\ \cdot h\downarrow & \nearrow \frac{N(-)}{N(𝔟)}& \\ 𝔟& & & & \end{array}$

kommutativ. Da die Multiplikation mit $h$ ein $R$-Modulisomorphismus und insbesondere ein (orientierter) Gruppenisomorphismus zwischen  $𝔞\cong {\mathbb{Z}}^2$  und  $𝔟\cong {\mathbb{Z}}^2$  ist, der durch eine Matrix mit Determinante $1$ gegeben ist, bedeutet dies, dass die quadratischen Formen strikt äquivalent sind.

Es sei nun eine einfache binäre quadratische Form $a{x}^2+bxy+c{y}^2$ gegeben, deren Diskriminante $b^2-4ac$ gleich der Diskriminante des Zahlbereichs, also gleich $D$ bzw. $4D$ sei. Im zweiten Fall ist $b$ gerade und somit ist in beiden Fällen $\frac{b-\sqrt{\mathrm{△}}}{2}$ ein Element aus $R$.

Bei  $a>0$  betrachten wir

$𝔞=\mathbb{Z}a+\mathbb{Z}\frac{b-\sqrt{\mathrm{△}}}{2}.$

Dies ist ein Ideal.

Wegen Fakt ist

$N(𝔞)=|-a|=a,$

$N(a)=a^2$

und (für den Fall $D=2,3mod4$, auf den wir uns hier beschränken)

$\begin{array}{cc}N\left(\frac{b-\sqrt{\mathrm{△}}}{2}\right)& =N\left(\frac{b-2\sqrt{D}}{2}\right)\\ & =(\frac{b}{2}-\sqrt{D})(\frac{b}{2}+\sqrt{D})\\ & =\frac{b^2}{4}-D\\ & =\frac{b^2-4D}{4}\\ & =\frac{b^2-\mathrm{△}}{4}\\ & =\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4}\\ & =ac\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}N(a+\frac{b-\sqrt{\mathrm{△}}}{2})& =N(\frac{2a+b}{2}-\sqrt{D})\\ & ={\left(\frac{2a+b}{2}\right)}^2-D\\ & =\frac{4a^2+4ab+b^2-4D}{4}\\ & =\frac{4a^2+4ab+b^2-(b^2-4ac)}{4}\\ & =a^2+ab+ac.\end{array}$

Wenn man diese drei charakteristischen Werte durch  $N(𝔞)=a$  dividiert, so erhält man die Werte $a,c$ und $a+b+c$, was mit den Koeffizienten der vorgegebenen quadratischen Form übereinstimmt.

Für den Fall  $a<0$  setzt man

$𝔞=\sqrt{\mathrm{△}}\cdot (a\mathbb{Z}+\frac{b-\sqrt{\mathrm{△}}}{2}\mathbb{Z}),$

siehe Aufgabe.

Schließlich seien Ideale $𝔞$ und ${𝔞}^{\prime }$ gegeben mit der Eigenschaft, dass ihre durch die vereinfachte Norm gegebenen quadratischen Formen strikt äquivalent sind. Diese strikte Äquivalenz bedeutet, dass sie durch eine Matrix $M$ mit Determinante $1$ miteinander verbunden sind. Es liegt also die Situation

$𝔞⟶{\mathbb{Z}}^2\stackrel{M}{⟶}{\mathbb{Z}}^2⟶{𝔞}^{\prime }$

vor. Wir multiplizieren das Ideal $𝔞$ mit $N({𝔞}^{\prime })$ und das Ideal ${𝔞}^{\prime }$ mit $N(𝔞)$. Dann haben beide neuen Ideale die gleiche Norm, die Matrix überträgt sich entsprechend und somit können wir annehmen, dass eine normerhaltende $\mathbb{Z}$-lineare Abbildung

$𝔞⟶{𝔞}^{\prime }$

vorliegt. Diese induziert eine normerhaltende $\mathbb{Q}$-lineare Abbildung

$\mathbb{Q}[\sqrt{D}]⟶\mathbb{Q}[\sqrt{D}].$

Nach Aufgabe ist dies die Multiplikation mit einem Element $h$ des Körpers $\mathbb{Q}[\sqrt{D}]$ (die Determinantenbedingung schließt die Konjugation aus). Es ist also

${𝔞}^{\prime }=(h)𝔞.$

Da jedes Ideal positive ganze Zahlen enthält, muss der Faktor $h$ (wie zuvor die Idealnormen) eine positive Norm besitzen.

Zur bewiesenen Aussage