Restklassengruppen/Kommutativ/Z mod n/Einführung/Textabschnitt

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Bei der folgenden Konstruktion denke man an die Gruppe zusammen mit der Untergruppe aller Vielfachen zu einer fixierten Zahl , also an die Situation , oder an die Situation eines Untervektorraumes , siehe Aufgabe.


Definition  

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Für Elemente setzen wir (und sagen, dass und äquivalent sind), wenn .

In dem eingangs erwähnten Beispiel sind zwei ganze Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von ist. Diese Äquivalenzrelation wurde schon in Beispiel betrachtet. Wir sichern zuerst, dass wirklich in voller Allgemeinheit eine Äquivalenzrelation vorliegt.



Lemma  

Es sei eine kommutative Gruppe, eine Untergruppe und die durch auf definierte Relation.

Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu ist gerade .

Beweis  

Wegen

ist die Relation reflexiv. Mit ist auch , da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit und , also , ist auch

da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch . Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von mit bedeutet , so dass die letzte Aussage auch klar ist.


Die Äquivalenzklassen heißen in dieser Situation auch die Nebenklassen der Relation. Sie haben die Gestalt

sie bestehen also aus allen Elementen, die man von aus mit einem Element aus erreichen kann. Man kann sich dabei als einen mehr oder weniger restriktiven Vorrat an Sprungmöglichkeiten oder Bewegungsmöglichkeiten vorstellen, und die Äquivalenz zwischen und bedeutet, dass man von nach mit einem erlaubten Sprung gelangen kann.



Satz  

Es sei eine kommutative Gruppe, eine Untergruppe und die Quotientenmenge zur durch definierten Äquivalenzrelation auf mit der kanonischen Projektion

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf derart, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beweis  

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

gegeben sein, was bereits die Eindeutigkeit sichert. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für und zu zeigen, dass ist. Nach Voraussetzung können wir und mit schreiben. Damit ist

und somit ist . Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf und der Surjektivität der kanonischen Projektion folgen die Gruppeneigenschaften und die Homomorphieeigenschaft der Projektion.



Definition  

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .


Beispiel  

Die Untergruppen der ganzen Zahlen sind nach Fakt von der Form mit . Die Restklassengruppen werden mit

bezeichnet (sprich „ modulo “). Bei ist das einfach selbst, bei ist das die triviale Gruppe. Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe definierte Äquivalenzrelation auf dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen und genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz zu gehört, also ein Vielfaches von ist. Daher ist (bei ) jede ganze Zahl zu genau einer der Zahlen

äquivalent (oder, wie man auch sagt, kongruent modulo ), nämlich zum Rest, der sich bei Division durch ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit bezeichnet. Dabei ist das neutrale Element, das negative Element zu ist und die Summe ist bzw. , falls ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung

ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt.