Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe endliche Abbildung/Ganzheitsgleichung/Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt eine endliche Körpererweiterung  $ℳ\left(X\right)\subseteq ℳ\left(Y\right)$  vom Grad $n$ vor. Nach Fakt ist

$ℳ\left(Y\right)=ℳ\left(X\right)[g]\cong ℳ\left(X\right)[T]/(H)$

mit einer meromorphen Funktion $g$ auf $Y$ und einem Minimalpolynom

$H=T^n+a_{n-1}{T}^{n-1}+\cdots +a_{1}T+a_0$

mit meromorphen Funktionen  $a_j\in ℳ\left(X\right)$.  Es sei  $X^{\prime }\subseteq X$  das Komplement einer diskreten Teilmenge derart, dass $\pi$ über $X^{\prime }$ unverzweigt ist, dass die $a_j$ holomorph auf $X^{\prime }$ sind und dass $g$ auf

$Y^{\prime }={\pi }^{-1}(X^{\prime })$

holomorph ist. Wir betrachten die Abbildung

$\pi \times g:Y^{\prime }⟶X^{\prime }\times ℂ.$

Wegen  $H(g)=0$  als holomorphe Funktion auf $Y$ ist

$H(g)(P)=\left(\sum _{j=0}^n{a}_j{g}^j\right)(P)=\sum _{j=0}^n{a}_j(\pi (P))g^j(P)=H(\pi (P),g(P))=0$

und daher liegt das Bild von $\pi \times g$ im Nullstellengebilde $V$ zu $H$. Die Abbildung ist injektiv (vergleiche den Beweis zu Fakt) und aus Anzahlgründen auch surjektiv. Wir haben also eine Homöomorphie zwischen den beiden holomorphen Überlagerungen $Y^{\prime }\to X^{\prime }$ und $V\to X^{\prime }$ über $X^{\prime }$. Daher ist $Y^{\prime }\to V$ auch biholomorph.

Zur bewiesenen Aussage