Riemannsche Flächen/Meromorphe Funktionen/Holomorphe Abbildungen nach P1/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen auf ${}X$ und holomorphen Abbildungen von ${}X$ nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die nicht konstant gleich ${}\infty$ sind.

Einer meromorphen Funktion ${}f$ wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion

$X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

ist und die die Polstellen von ${}f$ auf ${}\infty$ abbildet.

Beweis

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion

$X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt ${}P$, an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also ${}f$ einen Pol in ${}P$ und sei ${}P\in U\subseteq X$ eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der ${}f$ keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann ${}f$ auf ${}U$ (bzw. dem zugehörigen Kartenbild) eine Laurent-Entwicklung ${}\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}$ mit ${}k\in \mathbb {Z} _{-}$ und ${}c_{k}\neq 0$. Wir schreiben

${}f=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}=z^{k}{\left(\sum _{m=0}^{\infty }c_{k+m}z^{m}\right)}=z^{k}g(z)\,.$

Es ist ${}g(z)$ holomorph ohne Nullstelle und daher ist

${}{\frac {1}{g(z)}}=h(z)\,$

holomorph (auf einer eventuell kleineren Umgebung). Die zusammengesetzte Abbildung

$U\setminus \{0\}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{\times }{\stackrel {w\mapsto w^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

ist ${}z\mapsto z^{-k}h(z)$. Diese lässt sich durch ${}0\mapsto 0$ holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden ${}{\mathbb {C} }$ mit der Identifizierung ${}z=w^{-1}$ auf ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.

$\Box$

Zu einer meromorphen Funktion ${}f$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$ versteht man unter der Gesamtnullstellenordnung einfach die Gesamtnullstellenordnung der zugehörigen holomorphen Funktion (auf dem maximalen Definitionsbereich), also die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(0)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}0\right)}$, falls diese endlich ist. Hierbei werden die Nullstellen von ${}f$ zusammen mit ihren jeweiligen Ordnungen gezählt, die man aus der Potenzreihenentwicklung ablesen kann. Die Gesamtpolstellenordnung von ${}f$ ist entsprechend die Summe ${}\sum _{x\in \operatorname {Pol} (f)}-k_{x}$, wenn ${}k_{x}$ die Startordnung der Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}x$ bezeichnet. Diese Gesamtpolstellenordnung kann man wiederum als Gesamtordnung über ${}\infty$ der zugehörigen holomorphen Abbildung nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ auffassen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}f$ eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$.

Dann stimmt die Gesamtnullstellenordnung von ${}f$ mit der Gesamtpolstellenordnung von ${}f$ überein.

Beweis

Dies folgt unter Verwendung von Fakt und Aufgabe aus Fakt.

$\Box$