Riemannsche Flächen/Meromorphe Funktionen/Holomorphe Abbildungen nach P1/Textabschnitt

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Satz  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen auf und holomorphen Abbildungen von nach , die nicht konstant gleich sind.

Einer meromorphen Funktion wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion

ist und die die Polstellen von auf abbildet.

Beweis  

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion

vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt , an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also einen Pol in und sei eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann auf (bzw. dem zugehörigen Kartenbild) eine Laurent-Entwicklung mit und . Wir schreiben

Es ist holomorph ohne Nullstelle und daher ist

holomorph (auf einer eventuell kleineren Umgebung). Die zusammengesetzte Abbildung

ist . Diese lässt sich durch holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden mit der Identifizierung auf zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.


Zu einer meromorphen Funktion auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche versteht man unter der Gesamtnullstellenordnung einfach die Gesamtnullstellenordnung der zugehörigen holomorphen Funktion (auf dem maximalen Definitionsbereich), also die Summe , falls diese endlich ist. Hierbei werden die Nullstellen von zusammen mit ihren jeweiligen Ordnungen gezählt, die man aus der Potenzreihenentwicklung ablesen kann. Die Gesamtpolstellenordnung von ist entsprechend die Summe , wenn die Startordnung der Laurent-Entwicklung von in bezeichnet. Diese Gesamtpolstellenordnung kann man wiederum als Gesamtordnung über der zugehörigen holomorphen Abbildung nach auffassen, siehe Aufgabe.



Korollar  

Es sei eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche .

Dann stimmt die Gesamtnullstellenordnung von mit der Gesamtpolstellenordnung von überein.

Beweis  

Dies folgt unter Verwendung von Fakt und Aufgabe aus Fakt.