Riemannsche Flächen/Meromorphe Funktionen/Holomorphe Abbildungen nach P1/Textabschnitt

Satz

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen auf $X$ und holomorphen Abbildungen von $X$ nach ${\mathbb{P}}_{ℂ}^1$, die nicht konstant gleich $\mathrm{\infty }$ sind.

Einer meromorphen Funktion $f$ wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion

$X\setminus \mathrm{Pol}(f)⟶ℂ\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$

ist und die die Polstellen von $f$ auf $\mathrm{\infty }$ abbildet.

Beweis

Es liegt unmittelbar die holomorphe Funktion

$X\setminus \mathrm{Pol}(f)⟶ℂ\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$

vor. Das die beschriebene Fortsetzung nach ${\mathbb{P}}_{ℂ}^1$ ebenfalls holomorph ist, kann man für jeden einzelnen Punkt $P$, an dem ein Pol vorliegt, nachweisen. Es habe also $f$ einen Pol in $P$ und sei  $P\in U\subseteq X$  eine offene Kreisscheibenumgebung, auf der $f$ keine Nullstelle und keinen weiteren Pol besitze. Es besitzt dann $f$ auf $U$ (bzw. dem zugehörigen Kartenbild) eine Laurent-Entwicklung $\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$ mit  $k\in {\mathbb{Z}}_{-}$  und  $c_k\ne 0$.  Wir schreiben

$f=\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n=z^k\left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k+m}{z}^m\right)=z^{k}g(z).$

Es ist $g(z)$ holomorph ohne Nullstelle und daher ist

$\frac{1}{g(z)}=h(z)$

holomorph (auf einer eventuell kleineren Umgebung). Die zusammengesetzte Abbildung

$U\setminus \{0\}\stackrel{f}{⟶}{ℂ}^{\times }\stackrel{w\mapsto w^{-1}}{⟶}ℂ\subseteq {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$

ist $z\mapsto z^{-k}h(z)$. Diese lässt sich durch $0\mapsto 0$ holomorph fortsetzen. Da sich die projektive Gerade aus den beiden $ℂ$ mit der Identifizierung  $z=w^{-1}$  auf ${ℂ}^{\times }$ zusammenklebt, liegt eine wohldefinierte Abbildung in die projektive Gerade vor.

$◻$

Zu einer meromorphen Funktion $f$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche $X$ versteht man unter der Gesamtnullstellenordnung einfach die Gesamtnullstellenordnung der zugehörigen holomorphen Funktion (auf dem maximalen Definitionsbereich), also die Summe $\sum _{x\in {\phi }^{-1}(0)}\mathrm{Verz}(x|0)$, falls diese endlich ist. Hierbei werden die Nullstellen von $f$ zusammen mit ihren jeweiligen Ordnungen gezählt, die man aus der Potenzreihenentwicklung ablesen kann. Die Gesamtpolstellenordnung von $f$ ist entsprechend die Summe $\sum _{x\in \mathrm{Pol}(f)}-k_x$, wenn $k_x$ die Startordnung der Laurent-Entwicklung von $f$ in $x$ bezeichnet. Diese Gesamtpolstellenordnung kann man wiederum als Gesamtordnung über $\mathrm{\infty }$ der zugehörigen holomorphen Abbildung nach ${\mathbb{P}}_{ℂ}^1$ auffassen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei $f$ eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche $X$.

Dann stimmt die Gesamtnullstellenordnung von $f$ mit der Gesamtpolstellenordnung von $f$ überein.

Beweis

Dies folgt unter Verwendung von Fakt und Aufgabe aus Fakt.

$◻$