Riemannsche Flächen/Wegintegrale/Holomorphe Differentiale/Einführung/Textabschnitt

Bemerkung  

Eine rationale Funktion in ${}x$ und in ${}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ lässt sich unter Verwendung von gewissen Standardsubstitutionen elementar integrieren, siehe Fakt. Beispielsweise ist mit ${}x=\sin s$

${}\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int {\frac {\sin s}{\sqrt {1-\sin ^{2}s}}}d\sin s=\int {\frac {\sin s\cos s}{\sqrt {\cos ^{2}s}}}ds=\int \sin sds\,.$

Eine solche Situation kann man auffassen als eine rationale Funktion ${}R(x,y)$ in zwei Variablen ${}x$ und ${}y$, wobei zusätzlich zwischen den Variablen die algebraische Beziehung ${}y^{2}=ax^{2}+bx+c$ besteht.

Es gibt eine Reihe von geometrisch relevanten Problemen, die auf ähnliche Integrale führen, wobei allerdings keine algebraische Beziehung zwischen den Variablen vom Grad ${}2$, sondern von höherem Grad vorliegt. Die Berechnung der Länge einer Ellipse oder einer sogenannten Lemniskate (siehe Beispiel) führt zu Integralen der Form ${}\int {\frac {\sqrt {g(x)}}{1-x^{2}}}$ mit einem Polynom ${}g(x)$ vom Grad ${}4$ bzw. ${}\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}$. Diese Integrale sind nicht elementar integrierbar, ihre Behandlung erfordert neuartige Ansätze, die sich in der Theorie von Wegintegralen auf riemannschen Flächen niederschlagen.

Wir fixieren die folgende Situation.

Lemma

Es sei ${}R(z,w)$ eine rationale Funktion in den beiden Variablen ${}z$ und ${}w$ und es sei ${}P(z,w)$ ein Polynom in ${}z$ und ${}w$, das kein Teiler des Nenners von ${}R$ sei. Es sei

${}V={\left\{(z,w)\mid P(z,w)=0,\,glatt\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}\,$

das glatte Nullstellengebilde zu ${}P$. Es sei

$\beta \colon [a,b]\longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \beta (t),$

ein differenzierbarer Weg mit ${}P(t,\beta (t))=0$ für ${}t\in [a,b]$ und es sei ${}R(t,\beta (t))$ ohne Polstelle auf dem Intervall.

Dann ist ${}\omega =R(z,w)dz$ eine holomorphe Differentialform auf einer offenen Menge von ${}V$ und

${}\int _{a}^{b}R(t,\beta (t))dt=\int _{\gamma }\omega \,,$

wobei ${}\gamma (t)=(t,\beta (t))$ ist.

Beweis

Nach Fakt sind ${}z$ und ${}w$ holomorphe Funktionen auf dem glatten Nullstellengebilde und daher ist auch ${}R(z,w)$ auf einer offenen Teilmenge davon eine holomorphe Funktion und somit liegt eine holomorphe Differentialform vor. Nach der Definition von Wegintegralen ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{\gamma }R(z,w)dz\\&=\int _{a}^{b}\gamma ^{*}{\left(R(z,w)dz\right)}\\&=\int _{a}^{b}R(t,\beta (t))dt.\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Im Beispiel aus Bemerkung sind die Bezeichnungen aus Fakt als

${}P=x^{2}+y^{2}-1\,,$

das Nullstellengebilde ist also reell ein Kreis (komplex eine Quadrik) und die holomorphe Differentialform darauf ist ${}{\frac {x}{y}}dx$. Eine elementare Integration ist möglich, da der Kreis ein einfach zu parametrisierendes Gebilde ist.

Lemma

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [Z]$ ein reelles Polynom vom Grad ${}\geq 3$ ohne mehrfache komplexe Nullstelle und sei ${}V={\left\{(z,w)\mid w^{2}=f(z)\right\}}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ die zugehörige riemannsche Fläche. Es seien ${}a<b$ benachbarte reelle Nullstellen von ${}f$ mit ${}f(x)\geq 0$ für ${}x\in [a,b]$. Es sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow V$ der geschlossene Weg, dessen ${}z$-Koordinate linear von ${}a$ nach ${}b$ und zurück läuft und dessen ${}w$-Koordinate zuerst die positive Wurzel und dann die negative Wurzel von ${}f$ durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }{\frac {dz}{w}}>0\,.$

Insbesondere ist ${}\gamma$ nicht nullhomotop in ${}V$.

Beweis

Die Form ${}{\frac {dz}{w}}$ ist nach Fakt eine holomorphe Differentialform (hierzu braucht man Grad ${}\geq 3$). Auf dem Hinweg ist der Integrand positiv, auf dem Rückweg ebenfalls, da dort ${}dz(t)$ negativ und auch ${}w(t)$ negativ ist. Der Zusatz folgt aus Fakt.

$\Box$

In der vorstehenden Situation weiß man insbesondere, dass es nicht nullhomotope Wege auf dem Nullstellengebilde gibt. Insbesondere ist diese riemannsche Fläche nicht einfach zusammenhängend.