Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch und torsionsfrei/Koszul-Eigenschaft/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ein linearer Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ gegeben, der metrisch und torsionsfrei sei. Zeige, dass für Vektorfelder ${}X,Y,Z$ die Formel

${}\left\langle \nabla _{X}Y,Z\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(D_{X}\left\langle Y,Z\right\rangle +D_{Y}\left\langle Z,X\right\rangle -D_{Z}\left\langle X,Y\right\rangle -\left\langle Y,[X,Z]\right\rangle -\left\langle Z,[Y,X]\right\rangle +\left\langle X,[Z,Y]\right\rangle \right)}\,$

gilt.

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