Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt/latex
\inputfaktbeweis
{Irreduzibles Polynom/Positive Charakteristik/Einsetzung in separables Polynom/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mathl{p > 0}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein irreduzibles und
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{}
\mathl{G \in K[X]}{} mit
\mathl{F=G(X^{p^{e} } )}{} für ein geeignetes
\mathl{e \in \N}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Da $F$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist, ist der
\definitionsverweis {Grad}{}{} von $F$ mindestens $1$. Es sei $e$ der maximale Exponent derart, dass man
\mathl{F=G(X^{p^{e} } )}{} mit einem Polynom
\mathl{G \in K[X]}{} schreiben kann. Dies muss es geben, da $G$ nicht konstant ist und daher der Grad von
\mathl{G(X^{p^{e} })}{} mindestens so groß wie $p^e$ ist. Das Polynom $G$ ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von $F$ führt. Wegen der Maximalität von $e$ ist
\mathl{G \not\in K[X^p]}{.} Daher ist $G' \neq 0$ und somit ist $G'$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{} zum irreduziblen Polynom $G$. Also ist $G$ nach
Fakt
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K \subseteq L$ eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Ein Element
\mathl{x \in L}{} heißt \definitionswort {separabel}{,}
wenn $x$
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist, und sein
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{} ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Ein Element
\mathl{x \in L}{} heißt
\definitionswort {rein-inseparabel}{,}
wenn $x$
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
ist und sein
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.
}
Ein Element $x \in L$, das zu
\mathl{K}{} gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja
\mathl{X-x}{.} In Charakteristik $0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Rein-inseparabel/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein über $K$
\definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $x$ genau dann
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{p^{e} }
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{x^{p^{e} } =y \in K}{.} Dann ist
\mathl{X^{p^{e} } - y = (X-x)^{p^{e} } \in K[X]}{} ein Polynom, das $x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über
\mathl{K(x)}{} die einzige Nullstelle $x$, so dass dies auch für das Minimalpolynom von $x$ über $K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist $x$ rein-inseparabel.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $x$ rein-inseparabel mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in K[X]}{.} Nach
Fakt
gibt es ein irreduzibles
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{}
\mathl{G \in K[X]}{} und ein
\mathl{e \in \N}{} mit
\mathl{F=G(X^{p^{e} })}{.} Es sei $d$ der
\definitionsverweis {Grad}{}{} von $G$. Es sei
\mathl{K \subseteq M}{} der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $G$ und
\mathl{G=(X-a_1) { \cdots } (X-a_d)}{} die Faktorzerlegung von $G$ über $M$. Wegen der Separabilität von $G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei
\mathl{d>1}{} hätte auch $F$ verschiedene Nullstellen
\zusatzklammer {in einem geeigneten Erweiterungskörper \mathlk{M \subseteq M'}{}} {} {.}
Also ist
\mathl{d=1}{} und somit ist
\mathl{F=X^{p^{e} } - y}{} mit einem
\mathl{y \in K}{.}}
{}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{} heißt
\definitionswort {rein-inseparabel}{,}
wenn jedes Element
\mathl{x \in L}{}
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{} über $K$ ist.
}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Element/Separabel und rein-inseparabel/Im Grundkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element, das sowohl
\definitionsverweis {separabel}{}{}
als auch
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{}
über $K$ ist.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{F\in K[X]}{} das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $x$. Dann besitzt $F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt $F$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{} $1$ und somit ist
\mathl{x\in K}{.}
\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Separabler Zwischenkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {S
}
{ \subseteq} {L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Endliche Körpererweiterung/Separabler Zwischenkörper/Fakt/Beweis
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Unter dem \definitionswort {separablen Abschluss}{}
\zusatzklammer {von $K$ in $L$} {} {}
versteht man die Teilmenge
\mathl{S \subseteq L}{,} die aus allen über $K$
\definitionsverweis {separablen Elementen}{}{} aus $L$ besteht.
}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mathbed {S} {}
{K \subseteq S \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
der
\definitionsverweis {separable Abschluss}{}{} von $K$ in $L$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$S$ ist ein Körper.
}{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist separabel.
}{Die über $K$ algebraischen Elemente aus $L$ sind
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{}
über $S$.
}{Der separable Abschluss von $S$ in $L$ ist gleich $S$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Für zwei Elemente
\mathl{x,y \in S}{} ist
\mathl{K[x,y] \, \, (\subseteq L)}{} eine nach
Fakt
über $K$
\definitionsverweis {endliche}{}{}
und nach
Fakt
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.} Also ist
\mathl{K[x,y] \subseteq S}{} und $S$ ist ein Unterring. Für $x \neq 0$ ist auch $x^{-1} \in K[x,y]$, so dass ein Körper vorliegt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) ist klar.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ L
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
algebraisch über $K$ und sei $F$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.}
Die Charakteristik von $K$ sei
\mathl{p>0}{,} andernfalls ist die Aussage klar. Nach
Fakt
besitzt $F$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {G(X^q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{q=p^{e}}{} und einem irreduziblen separablen Polynom
\mathl{G \in K[X]}{.} Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x^q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $G$ ein separables annullierendes Polynom, so dass
\mathl{y \in S}{} ist. Daher ist $x$ nach
Fakt
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{} über $S$ ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4) folgt aus (3).}
{}
\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Etale und separabel/Fakt}
{Satz}
{}
{
Eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann
\definitionsverweis {\'{e}tale}{}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {separabel}{}{} ist.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
separabel und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $x$ ist
\definitionsverweis {separabel}{}{,}
daher ist nach
Fakt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {dF(x)
}
{ =} {F'(x)dx
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{dx
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} K }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorausgesetzt. Wir verwenden den
\definitionsverweis {separablen Abschluss}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ S
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Wir nehmen an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \neq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dann gibt es eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq} {S(x_1)
}
{ \subseteq} { S(x_1,x_2)
}
{ \subseteq \ldots \subseteq} { S(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { L
}
}
{}{}{,}
wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ S(x_1 , \ldots , x_{n-1})
}
{ \neq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen können. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Fakt (3)
\definitionsverweis {rein-inseparabel}{}{}
ist, ist nach
Fakt
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ M(x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von $x_n$ über $M$ gleich
\mathl{X^q-a}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ = }{ p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ M[X]/(X^q-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} M }
}
{ \cong} { LdX/ (X^q-a)'dX
}
{ \cong} { LdX
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Fakt.
Daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} K }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aufgrund von
Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.}
{}