Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik und sei ein irreduzibles Polynom.

Dann gibt es ein irreduzibles und separables Polynom mit für ein geeignetes .

Beweis  

Da irreduzibel ist, ist der Grad von mindestens . Es sei der maximale Exponent derart, dass man mit einem Polynom schreiben kann. Dies muss es geben, da nicht konstant ist und daher der Grad von mindestens so groß wie ist. Das Polynom ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von führt. Wegen der Maximalität von ist . Daher ist und somit ist teilerfremd zum irreduziblen Polynom . Also ist nach Fakt separabel.



Definition  

Sei eine Körpererweiterung. Ein Element heißt separabel, wenn algebraisch über ist, und sein Minimalpolynom separabel ist.


Definition  

Sei eine Körpererweiterung. Ein Element heißt rein-inseparabel, wenn algebraisch ist und sein Minimalpolynom in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.

Ein Element , das zu gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja . In Charakteristik sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.



Lemma  

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik , es sei eine Körpererweiterung und ein über algebraisches Element.

Dann ist genau dann rein-inseparabel, wenn ist für ein .

Beweis  

Es sei . Dann ist ein Polynom, das annulliert. Dieses Polynom besitzt über die einzige Nullstelle , so dass dies auch für das Minimalpolynom von über gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist rein-inseparabel.
Sei nun rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom . Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom und ein mit . Sei der Grad von . Es sei der Zerfällungskörper von und die Faktorzerlegung von über . Wegen der Separabilität von sind diese Nullstellen verschieden. Bei hätte auch verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper ). Also ist und somit ist mit einem .



Definition  

Eine Körpererweiterung heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element rein-inseparabel über ist.



Lemma  

Sei eine Körpererweiterung und es sei ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über ist.

Dann ist .

Beweis  

Es sei das Minimalpolynom von . Dann besitzt wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt den Grad und somit ist .


Definition  

Sei eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von in ) versteht man die Teilmenge , die aus allen über separablen Elementen aus besteht.



Lemma  

Sei eine Körpererweiterung und es sei , , der separable Abschluss von in . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. ist ein Körper.
  2. Die Körpererweiterung ist separabel.
  3. Die über algebraischen Elemente aus sind rein-inseparabel über .
  4. Der separable Abschluss von in ist gleich .

Beweis  

(1). Für zwei Elemente ist eine nach Fakt über endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist und ist ein Unterring. Für ist auch , so dass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Sei algebraisch über und sei das Minimalpolynom. Die Charakteristik von sei , andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt die Gestalt

mit und einem irreduziblen separablen Polynom . Für

ist ein separables annullierendes Polynom, so dass ist. Daher ist nach Fakt rein-inseparabel über ist.
(4) folgt aus (3).



Satz  

Eine endliche Körpererweiterung ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.

Beweis  

Sei zunächst separabel und . Das Minimalpolynom von ist separabel, daher ist nach Fakt . Somit folgt aus

dass

ist.
Sei nun umgekehrt vorausgesetzt. Wir verwenden den separablen Abschluss und müssen zeigen.  Wir nehmen an, dass ist. Dann gibt es eine Kette

wobei wir annehmen können. Da nach Fakt  (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von über gleich mit und mit . Also ist und daher ist

nach

Fakt. Daher ist auch aufgrund von Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.