Separable und rein-inseparable Elemente/Separabler Abschluss/Textabschnitt
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik und sei ein irreduzibles Polynom.
Dann gibt es ein irreduzibles und separables Polynom mit für ein geeignetes .
Da irreduzibel ist, ist der Grad von mindestens . Es sei der maximale Exponent derart, dass man mit einem Polynom schreiben kann. Dies muss es geben, da nicht konstant ist und daher der Grad von mindestens so groß wie ist. Das Polynom ist ebenfalls irreduzibel, da eine Zerlegung davon sofort zu einer Zerlegung von führt. Wegen der Maximalität von ist . Daher ist und somit ist teilerfremd zum irreduziblen Polynom . Also ist nach Fakt separabel.
Es sei eine Körpererweiterung. Ein Element heißt separabel, wenn algebraisch über ist, und sein Minimalpolynom separabel ist.
Es sei eine Körpererweiterung. Ein Element heißt rein-inseparabel, wenn algebraisch ist und sein Minimalpolynom in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.
Ein Element , das zu gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja . In Charakteristik sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.
Es sei ein Körper der positiven Charakteristik , es sei eine Körpererweiterung und ein über algebraisches Element.
Dann ist genau dann rein-inseparabel, wenn für ein ist.
Es sei . Dann ist ein Polynom, das annulliert. Dieses Polynom besitzt über die einzige Nullstelle , sodass dies auch für das Minimalpolynom von über gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist rein-inseparabel.
Es sei nun rein-inseparabel mit dem
Minimalpolynom . Nach
Fakt
gibt es ein irreduzibles
separables Polynom und ein mit . Es sei der
Grad von . Es sei der
Zerfällungskörper von und die Faktorzerlegung von über . Wegen der Separabilität von sind diese Nullstellen verschieden. Bei hätte auch verschiedene Nullstellen
(in einem geeigneten Erweiterungskörper ).
Also ist und somit ist mit einem .
Eine Körpererweiterung heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element rein-inseparabel über ist.
Es sei eine Körpererweiterung und es sei ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über ist.
Dann ist .
Es sei das Minimalpolynom von . Dann besitzt wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt den Grad und somit ist .
Es sei eine endliche Körpererweiterung.
Dann gibt es einen Zwischenkörper
derart, dass separabel und rein-inseparabel ist.
Es sei eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von in ) versteht man die Teilmenge , die aus allen über separablen Elementen aus besteht.
Es sei eine Körpererweiterung und es sei , , der separable Abschluss von in . Dann gelten folgende Aussagen.
- ist ein Körper.
- Die Körpererweiterung ist separabel.
- Die über algebraischen Elemente aus sind rein-inseparabel über .
- Der separable Abschluss von in ist gleich .
(1). Für zwei Elemente
ist eine nach
Fakt
über
endliche
und nach
Fakt
separable Körpererweiterung.
Also ist
und ist ein Unterring. Für
ist auch
,
sodass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei
algebraisch über und sei das
Minimalpolynom.
Die Charakteristik von sei
,
andernfalls ist die Aussage klar. Nach
Fakt
besitzt die Gestalt
mit und einem irreduziblen separablen Polynom . Für
ist ein separables annullierendes Polynom, sodass
ist. Daher ist nach
Fakt
rein-inseparabel
über ist.
(4) folgt aus (3).
Eine endliche Körpererweiterung ist genau dann étale, wenn sie separabel ist.
Es sei zunächst separabel und . Das Minimalpolynom von ist separabel, daher ist nach Fakt . Somit folgt aus
dass
ist.
Es sei nun umgekehrt
vorausgesetzt. Wir verwenden den
separablen Abschluss
und müssen
zeigen. Wir nehmen an, dass
ist. Dann gibt es eine Kette
wobei wir annehmen können. Da nach Fakt (3) rein-inseparabel ist, ist nach Fakt auch rein-inseparabel. Daher ist das Minimalpolynom von über gleich mit und mit . Also ist und daher ist
nach
Fakt.
Daher ist auch
aufgrund von
Fakt im Widerspruch zur Voraussetzung.
- Theorie der rein-inseparablen Körpererweiterungen/Textabschnitte
- Theorie des separablen Abschlusses einer Körpererweiterung/Textabschnitte
- Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen/Textabschnitte
- Theorie der Kähler-Differentiale/Textabschnitte
- Theorie der étalen Morphismen/Textabschnitte
- Theorie der endlichen Körpererweiterungen/Textabschnitte