Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/Nullstellengebilde/Glattheit/Einführung/Textabschnitt

Beispiel

Zu

$K^{3}\longrightarrow K,\,(x,y,z)\longmapsto xyz,$

ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsenebenen, also zweidimensional. Die Jacobimatrix ist

$(yz,xz,xy).$

Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. Aber auch in einem Punkt mit ${}x=y=0$ (unabhängig vom Wert von ${}z$) liegt die Nullmatrix vor und der Punkt ist singulär. Wenn hingegen ${}x=0$ ist und die beiden anderen Koordinaten ${}y,z$ nicht ${}0$ sind, so ist die Jacobimatrix gleich ${}(yz,0,0)$ und hat den Rang ${}1$, ein solcher Punkt ist also glatt.

Das vorstehende Beispiel kann man auch mit dem Satz über implizite Abbildungen behandeln, doch schon für das folgende brauchen wir das Glattheitskonzept, bei dem die Jacobimatrix nicht unbedingt surjektiv sein muss.

Beispiel

Zu

$K^{3}\longrightarrow K^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (yz,xz,xy),$

ist die Nullstellenmenge die Vereinigung der drei Achsen, also das eindimensionale Achsenkreuz im Raum. Die Jacobimatrix ist

${\begin{pmatrix}0&z&y\\z&0&x\\y&x&0\end{pmatrix}}.$

Im Nullpunkt ist das die Nullmatrix und es liegt ein singulärer Punkt vor. In einem Punkt mit ${}x=y=0$ und ${}z\neq 0$ ist die Matrix gleich

${\begin{pmatrix}0&z&0\\z&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

und ihr Rang ist ${}2=3-1$, also liegt ein glatter Punkt vor.

Lemma

Ein Punkt ${}P\in \Delta (K)=\bigcup _{F\in \Delta }K^{F}$ auf der Achsenraumkonfiguration zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$

ist genau dann glatt, wenn er auf ${}K^{F}$ zu einer einzigen Facette ${}F$ liegt.

Beweis

Es sei ${}V={\{1,\ldots ,n\}}$ die Grundmenge und ${}A_{1},\ldots ,A_{m}$ eine Aufzählung aller minimalen Nichtseiten. Nach Fakt ist

$(\prod _{v\in A_{1}}X_{v},\ldots ,\prod _{v\in A_{m}}X_{v})\colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

eine Abbildung, deren Faser über ${}0$ die Achsenraumkonfiguration zum simplizialen Komplex ${}\Delta$ ist. Wir schreiben die Jacobimatrix als

${\begin{pmatrix}\prod _{v\in A_{1}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{1}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{1}\setminus \{n\}}X_{v}\\\prod _{v\in A_{2}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{2}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{2}\setminus \{n\}}X_{v}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\prod _{v\in A_{m}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{m}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{m}\setminus \{n\}}X_{v}\end{pmatrix}},$

wobei ${}\prod _{v\in A_{i}\setminus \{j\}}X_{v}$ als ${}0$ zu verstehen ist, falls ${}j\notin A_{i}$. Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt, der auf ${}K^{F}$ zu genau einer Facette ${}F$ liegt. Es sei ${}S$ der Träger von ${}P$ (der in ${}F$ enthalten ist). Für jeden Index ${}z\notin F$ ist ${}S\cup \{z\}$ eine Nichtseite, da der Punkt sonst in einer weiteren Facette liegen müsste. Die Anzahl von ${}F$ sei ${}d$, was auch die Dimension von ${}K^{F}$ ist, also die Dimension der Achsenraumkonfiguration im Punkt ${}P$. Es gibt also ${}n-d$ solche Indizes. Nach Umnummerierung seien ${}\{1,\ldots ,n-d\}$ diese Indizes und seien ${}A_{1},\ldots ,A_{n-d}$ die Nichtseiten der Form

${}A_{j}=S\cup \{j\}\,$

zu ${}j=1,\ldots ,n-d$. Wir betrachten die ${}(n-d)\times (n-d)$-Untermatrix oben links der Jacobimatrix, also

${\begin{pmatrix}\prod _{v\in A_{1}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{1}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{1}\setminus \{n-d\}}X_{v}\\\prod _{v\in A_{2}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{2}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{2}\setminus \{n-d\}}X_{v}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{1\}}X_{v}&\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{2\}}X_{v}&\ldots &\prod _{v\in A_{n-d}\setminus \{n-d\}}X_{v}\end{pmatrix}}.$

In der Diagonalen ist stets

${}A_{j}\setminus \{j\}={\left(S\cup \{j\}\right)}\setminus \{j\}=S\,$

und die Auswertung der Monome im Punkt ${}P$ ergibt in der Diagonalen Werte ${}\neq 0$. An einer Stelle zum Index ${}(i,j)$ mit ${}i\neq j$ ist

${}A_{i}\setminus \{j\}={\left(S\cup \{i\}\right)}\setminus \{j\}\,.$

Der Index ${}i$ gehört nicht zu ${}S$ und taucht in der Indexmenge des Monoms auf, daher sind diese Einträge an der Stelle ${}P$ gleich ${}0$. Daher ist diese Untermatrix eine Diagonalmatrix mit von ${}0$ verschiedenen Diagonaleinträgen. Daher hat sie den vollen Rang ${}n-d$, und das bedeutet, dass der Rang der Jacobimatrix zumindest ${}n-d$ ist, also glatt nach der Definition.

Es sei nun vorausgesetzt, dass der Träger ${}S$ des Punktes ${}P$ in den zwei Facetten ${}F$ und ${}G$ liegt, und ${}F$ aus ${}d$ Indizes besteht. Wir können (nach Umbenennungen) ${}F$ als ${}F=\{n-d+1,\ldots ,n\}$ ansetzen und darüberhinaus annehmen, dass

${}n-d\in G\,$

liegt. Es sei nun ${}A$ eine Nichtseite, die von den ${}n-d-1$ Nichtseiten ${}S\cup \{j\}$, ${}j=1,\ldots ,n-d-1$, verschieden sei. Sei ${}k\in V$. Bei ${}k\notin A$ steht an der Stelle ${}(A,k)$ in der Jacobimatrix die ${}0$. Bei ${}k\in A$ ist

${}A\setminus \{k\}\not \subseteq S\,,$

da wir ${}A=S\cup \{k\}$ ausgeschlossen haben. Somit ist der Wert des Monoms zum Index ${}(A,k)$ an der Stelle ${}P$ gleich ${}0$. Daher ist überhaupt die Zeile zu ${}A$ in der Jacobimatrix ausgewertet am Punkt ${}P$ die Nullzeile. Die Jacobimatrix besitzt also höchstens ${}n-d-1$ Nichtnullzeilen und damit ist ihr Rang höchstens ${}n-d-1$. Der Punkt ist also nicht glatt.

$\Box$