Skalarprodukt/K/Einführung/Textabschnitt

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Im kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden Fälle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeichnung für bzw. das Symbol . Zu bezeichnet die konjungiert-komplexe Zahl, bei einfach die Zahl selbst.


Definition  

Es sei ein -Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

mit folgenden Eigenschaften:

  1. Es ist

    für alle , und

    für alle , .

  2. Es ist

    für alle .

  3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit. Im komplexen Fall spricht man von sesquilinear und von hermitesch. Diese auf den ersten Blick unschöne Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung für einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist.


Beispiel  

Auf dem ist die Abbildung

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.


Beispielsweise ist im mit dem Standardskalarprodukt


Definition  

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt besitzt jeder Untervektorraum selbst wieder durch Einschränkung ein Skalarprodukt. Insbesondere ist zu einem euklidischen Vektorraum jeder Untervektorraum selbst wieder ein euklidischer Vektorraum. Jeder Untervektorraum trägt somit das eingeschränkte Standardskalarprodukt. Da es stets eine Isomorphie gibt, kann man auch das Standardskalarprodukt des nach übertragen, doch hängt dies von der gewählten Isomorphie ab und hat im Allgemeinen nichts mit dem eingeschränkten Standardskalarprodukt zu tun.


Definition  

Das auf dem durch

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Beispielsweise ist

Bemerkung  

Wenn man einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den Realteil

ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe Aufgabe. Wegen

kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.



Beispiel  

Es sei ein abgeschlossenes reelles Intervall mit und sei

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

und erhalten damit ein Skalarprodukt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

Die positive Definitheit folgt so: Wenn nicht die Nullfunktion ist, so sei ein Punkt mit . Dann ist und wegen der Stetigkeit von gibt es dann auch eine Umgebung der Länge , auf der überall

ist. Somit ist

positiv.