Stammfunktion/Bestimmtes Integral/Beispiele und Bemerkungen/Textabschnitt

Notation

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und ${}F\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Stammfunktion zu ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es seien ${}a,b\in I$. Dann setzt man

${}F|_{a}^{b}:=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt\,.$

Diese Notation wird hauptsächlich bei Rechnungen verwendet, vor allem beim Ermitteln von bestimmten Integralen.

Mit den früher bestimmten Ableitungen von differenzierbaren Funktionen erhält man sofort eine Liste von Stammfunktionen zu einigen wichtigen Funktionen. Im Allgemeinen ist das Auffinden von Stammfunktionen schwierig.

Die Stammfunktion zu ${}x^{a}$, wobei ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ und ${}a\in \mathbb {R}$, ${}a\neq -1$, ist, ist ${}{\frac {1}{a+1}}x^{a+1}$.

Beispiel

Zwischen zwei (punktförmig gedachten) Massen ${}M$ und ${}m$ bestehe der Abstand ${}R_{0}$. Aufgrund der Gravitation besitzt dieses System eine gewisse Lageenergie. Wie ändert sich die Lageenergie, wenn die beiden Massen auf einen Abstand von ${}R_{1}\geq R_{0}$ auseinander gezogen werden?

Die aufzubringende Energie ist Anziehungskraft mal Weg, wobei die Anziehungskraft allerdings selbst vom Abstand der Massen abhängt. Nach dem Gravitationsgesetz ist die Kraft beim Abstand ${}r$ gleich

${}F(r)=\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,,$

wobei ${}\gamma$ die Gravitationskonstante bezeichnet. Daher ist die Energie (oder Arbeit), die man aufbringen muss, um den Abstand von ${}R_{0}$ auf ${}R_{1}$ zu erhöhen, gleich

${}E=\int _{R_{0}}^{R_{1}}\gamma {\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm\int _{R_{0}}^{R_{1}}{\frac {1}{r^{2}}}\,dr=\gamma Mm{\left(-{\frac {1}{r}}|_{R_{0}}^{R_{1}}\right)}=\gamma Mm{\left({\frac {1}{R_{0}}}-{\frac {1}{R_{1}}}\right)}\,.$

Damit kann man der Differenz der Lageenergien zum Abstand ${}R_{0}$ bzw. ${}R_{1}$ einen sinnvollen Wert zuweisen, nicht aber den Lageenergien selbst.

Die Stammfunktion der Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ ist der natürliche Logarithmus.

Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst.

Die Stammfunktion von ${}\sin x$ ist ${}-\cos x$, die Stammfunktion von ${}\cos x$ ist ${}\sin x$.

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{1+x^{2}}}$ ist ${}\arctan x$ nach Fakt  (3).

Die Stammfunktion von ${}{\frac {1}{1-x^{2}}}$ (für ${}x\in {]{-1},1[}$) ist ${}{\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$, es ist ja

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}\cdot \ln {\frac {1+x}{1-x}}\right)}^{\prime }&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1-x)+(1+x)}{(1-x)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{(1+x)(1-x)}}\\&={\frac {1}{(1-x^{2})}}.\end{aligned}}$

Siehe hier für eine Tabelle von wichtigen Stammfunktionen.

Achtung! Integrationsregeln sind nur anwendbar auf Funktionen, die im gesamten Intervall definiert sind. Z.B. gilt nicht

${}\int _{-a}^{a}{\frac {1}{t^{2}}}\,dt=-{\frac {1}{x}}|_{-a}^{a}=-{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a}}=-{\frac {2}{a}}\,,$

da hier über eine Definitionslücke hinweg integriert wird.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

mit

${}f(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar, da sie weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Es existieren also weder untere noch obere Treppenfunktionen für ${}f$. Trotzdem besitzt ${}f$ eine Stammfunktion. Dazu betrachten wir die Funktion

${}H(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {t^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist differenzierbar. Für ${}t\neq 0$ ergibt sich die Ableitung

${}H'(t)=t\cos {\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}\,.$

Für ${}t=0$ ist der Differenzenquotient gleich

${}{\frac {{\frac {h^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}}{h}}={\frac {h}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}\,.$

Für ${}h\mapsto 0$ existiert der Grenzwert und ist gleich ${}0$, so dass ${}H$ überall differenzierbar ist (aber nicht stetig differenzierbar). Der erste Summand in ${}H'$ ist stetig und besitzt daher nach Fakt eine Stammfunktion ${}G$. Daher ist ${}H-G$ eine Stammfunktion von ${}f$. Dies ergibt sich für ${}t\neq 0$ aus der expliziten Ableitung und für ${}t=0$ aus

${}H'(0)-G'(0)=0-0=0\,.$