Stetige Abbildung/Prägarben/Rückzug und Vorschub/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ nennt man die durch

${}{\left(\varphi _{*}\right)}{\mathcal {F}}(U):={\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(U)\right)}\,$

gegebene Prägarbe auf ${}Y$ die unter ${}\varphi$ vorgeschobene Prägarbe.

Da zu offenen Mengen ${}V\subseteq W$ auch ${}\varphi ^{-1}(V)\subseteq \varphi ^{-1}(W)$ gilt, hat man natürliche Restriktionsabbildungen und erhält somit in der Tat eine Prägarbe.

Lemma

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ ist die vorgeschobene Prägarbe ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}$

eine Garbe.

Beweis

Es sei

${}V=\bigcup _{i\in I}V_{i}\,$

eine offene Überdeckung einer offenen Menge ${}V\subseteq Y$. Dann bilden die ${}\varphi ^{-1}(V_{i})$, ${}i\in I$, eine offene Überdeckung von ${}\varphi ^{-1}(V)$. Es seien ${}s,t\in \varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$ mit ${}s{|}_{V_{i}\cap V_{j}}=t{|}_{V_{i}\cap V_{j}}$ gegeben. Dies bedeutet unmittelbar ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}$ und

${}s{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j})}=s{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j})}=t{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i}\cap V_{j})}=t{|}_{\varphi ^{-1}(V_{i})\cap \varphi ^{-1}(V_{j})}\,.$

Daher ist (nach der ersten Garbeneigenschaft von ${}{\mathcal {F}}$) ${}s=t$ in ${}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}$, also ${}s=t$ in ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$.

Es seien nun ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$ mit

${}s_{i}{|}_{V_{i}\cap V_{j}}=s_{j}{|}_{V_{i}\cap V_{j}}\,.$

Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}X$ unmittelbar, dass kompatible Schnitte in ${}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V_{i})\right)}$ vorliegen, denen ein Schnitt in ${}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\varphi _{*}{\mathcal {F}}(V)$ entspricht.

$\Box$

Lemma

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y,$

einem Punkt ${}Q\in Y$ und einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ ist der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}$ im Punkt ${}Q$ gleich

$\operatorname {colim} \,_{Q\in V}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\operatorname {colim} \,_{\left\{U\subseteq X\mid {\text{ es gibt eine offene Umgebung }}Q\in V{\text{ mit }}\varphi ^{-1}(V)\subseteq U\right\}}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ist also der Halm der Ausgangsgarbe in einem Filter (nämlich dem Urbildfilter des Umgebungsfilters ${}U(Q)$), aber im Allgemeinen nicht in einem Punkt.

Definition

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ nennt man auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

$\operatorname {colim} _{{\mathcal {G}}{\left(V\right)}}\,V\subseteq Y,\,U\subseteq \varphi ^{-1}(V)$

gegebene Prägarbe auf ${}X$ die unter ${}\varphi$ zurückgezogene Prägarbe.

Definition

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.

Sie wird mit ${}\varphi ^{-1}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Lemma

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$

ist der Halm der zurückgezogenen Garbe in einem Punkt ${}P\in X$ gleich dem Halm von ${}{\mathcal {G}}$ in ${}\varphi (P)$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$