Stetige Kurve/Integralkurve/Einführung/Textabschnitt

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Für eine stetige Kurve

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für das Integral komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis von und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen aus. Dann setzt man

Das Ergebnis ist ein Vektor in , der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe Aufgabe. Wenn man die untere Intervallgrenze fixiert und die obere Intervallgrenze , so bekommt man eine Integralkurve

Diese Integralkurve (oder Stammkurve) kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.


Satz  

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

Beweis  

Wenn ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

Es sei . Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis von . Es seien die Koordinatenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

da ja ein Vielfaches von ist und somit die anderen Koeffizienten gleich sind. Daher ist


Bemerkung  

Die Abschätzung aus Fakt ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise die Ableitung einer stetig differenzierbaren Kurve

ist, so ist die rechte Seite nach Fakt gleich

also die Kurvenlänge von . Die linke Seite ist hingegen

Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und ist die Länge der direkten Strecke.


Bemerkung  

Aus Fakt kann man Fakt für eine stetig differenzierbare Kurve

gewinnen. Mit ist nämlich

für ein gewisses , dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (in einer Variablen) folgt.