Stetige Kurve/Integralkurve/Einführung/Textabschnitt
Für eine stetige Kurve
in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für das Integral komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis von und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen aus. Dann setzt man
Das Ergebnis ist ein Vektor in , der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe Aufgabe. Wenn man die untere Intervallgrenze fixiert und die obere Intervallgrenze , so bekommt man eine Integralkurve
Diese Integralkurve (oder Stammkurve) kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
Es gilt die folgende Integralabschätzung.
Satz
Beweis
Wenn ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also
Es sei . Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis von . Es seien die Koordinatenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
da ja ein Vielfaches von ist und somit die anderen Koeffizienten gleich sind. Daher ist
Bemerkung
Die Abschätzung aus Fakt ist im Allgemeinen recht grob. Wenn beispielsweise die Ableitung einer stetig differenzierbaren Kurve
ist, so ist die rechte Seite nach Fakt gleich
also die Kurvenlänge von . Die linke Seite ist hingegen
Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach Definition das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und ist die Länge der direkten Strecke.
Bemerkung
Aus Fakt kann man Fakt für eine stetig differenzierbare Kurve
gewinnen. Mit ist nämlich
für ein gewisses , dessen Existenz aus dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (in einer Variablen) folgt.