in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für
das Integral komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis von und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen aus. Dann setzt man
Das Ergebnis ist ein Vektor in , der unabhängig von der gewählten Basis ist, siehe
Aufgabe.
Wenn man die untere Intervallgrenze fixiert und die obere Intervallgrenze
,
so bekommt man eine Integralkurve
Diese Integralkurve
(oder Stammkurve)
kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.
Es sei
.
Das ergänzen wir zu einer
Orthonormalbasis von . Es seien die Koordinatenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung
da ja ein Vielfaches von ist und somit die anderen Koeffizienten gleich sind. Daher ist
also die
Kurvenlänge
von . Die linke Seite ist hingegen
Die Abschätzung ist also in diesem Fall trivial, da ja die Kurvenlänge nach
Definition
das Supremum der Längen der interpolierenden Streckenzüge ist, und ist die Länge der direkten Strecke.