Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung  ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Zu jedem Punkt  ${}P\in M$  gibt es also eine offene Umgebung  ${}P\in U\subseteq M$,  die homöomorph zu einer offenen Teilmenge  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  ist. Sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine Homöomorphie und sei  ${}Q=\varphi (P)$.  Dann entspricht einer offenen Ballumgebung  ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$  eine offene Umgebung  ${}U'=\varphi ^{-1}(U{\left(Q,\epsilon \right)})$  mit  ${}P\in U'\subseteq U$,  die nach Konstruktion homöomorph zu einem offenen Ball ist. Man kann daher eine topologische Mannigfaltigkeit auch als einen topologischen Hausdorff-Raum charakterisieren, der lokal euklidisch ist.

Definition

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie

$\varphi \colon U\longrightarrow V,$

wobei  ${}U\subseteq M$  und  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen sind, eine (topologische) Karte für ${}M$.

Dabei nennt man die offene Menge  ${}U\subseteq M$  manchmal das Kartengebiet und  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  das Kartenbild. Zu einer Karte

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

und einer offenen Teilmenge  ${}U'\subseteq U$  ist auch die induzierte Abbildung

$\varphi {|}_{U'}\colon U'\longrightarrow \varphi (U')$

eine Karte. Manchmal nennt man auch die Umkehrabbildung eine Karte. Statt Karte spricht man auch von einem lokalen Koordinatensystem. Durch die Karte ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ werden ja die Koordinaten auf  ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  auf ${}U$ übertragen. Die ${}j$-te Koordinate (die ${}j$-te Projektion) ${}x_{j}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ induziert die (lokale Koordinaten)-Funktion

$x_{j}\circ \varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

(die oft einfach wieder mit ${}x_{j}$ bezeichnet wird), und ein Punkt  ${}Q=\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n}\right)\in V$  entspricht einem Punkt  ${}P=\varphi ^{-1}(Q)$. 

Definition

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien  ${}U_{1},U_{2}\subseteq M$  offene Teilmengen und ${}\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ seien Karten (mit ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Dann heißt die Abbildung

$\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

die Übergangsabbildung zu diesen Karten.

Der Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}$ ist die offene Teilmenge, auf der beide Karten definiert sind und worauf man die beiden Karten vergleichen kann. Genauer müsste man in der Definition von der Einschränkung von ${}\alpha _{1}^{-1}$ auf die offene Teilmenge  ${}\alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\subseteq V_{1}$  sprechen.