Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Zu jedem Punkt ${}P\in M$ gibt es also eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq M$, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist. Sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine Homöomorphie und sei ${}Q=\varphi (P)$. Dann entspricht einer offenen Ballumgebung ${}Q\in U{\left(Q,\epsilon \right)}\subseteq V$ eine offene Umgebung ${}U'=\varphi ^{-1}(U{\left(Q,\epsilon \right)})$ mit ${}P\in U'\subseteq U$, die nach Konstruktion homöomorph zu einem offenen Ball ist. Man kann daher eine topologische Mannigfaltigkeit auch als einen topologischen Hausdorff-Raum charakterisieren, der lokal euklidisch ist.

Definition

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit. Dann nennt man jede Homöomorphie

$\varphi \colon U\longrightarrow V,$

wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind, eine (topologische) Karte für ${}M$.

Dabei nennt man die offene Menge ${}U\subseteq M$ manchmal das Kartengebiet und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ das Kartenbild. Zu einer Karte

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

und einer offenen Teilmenge ${}U'\subseteq U$ ist auch die induzierte Abbildung

$\varphi {|}_{U'}\colon U'\longrightarrow \varphi (U')$

eine Karte. Manchmal nennt man auch die Umkehrabbildung eine Karte. Statt Karte spricht man auch von einem lokalen Koordinatensystem. Durch die Karte ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ werden ja die Koordinaten auf ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ auf ${}U$ übertragen. Die ${}j$-te Koordinate (die ${}j$-te Projektion) ${}x_{j}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ induziert die (lokale Koordinaten)-Funktion

$x_{j}\circ \varphi \colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

(die oft einfach wieder mit ${}x_{j}$ bezeichnet wird), und ein Punkt ${}Q=\left(x_{1},\,,\ldots ,,\,x_{n}\right)\in V$ entspricht einem Punkt ${}P=\varphi ^{-1}(Q)$.

Definition

Es sei ${}M$ eine topologische Mannigfaltigkeit, es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq M$ offene Teilmengen und ${}\alpha _{1}\colon U_{1}\rightarrow V_{1}$ und ${}\alpha _{2}\colon U_{2}\rightarrow V_{2}$ seien Karten (mit $V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen). Dann heißt die Abbildung

$\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon \alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\longrightarrow \alpha _{2}(U_{1}\cap U_{2})$

die Übergangsabbildung zu diesen Karten.

Der Durchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}$ ist die offene Teilmenge, auf der beide Karten definiert sind und worauf man die beiden Karten vergleichen kann. Genauer müsste man in der Definition von der Einschränkung von ${}\alpha _{1}^{-1}$ auf die offene Teilmenge ${}\alpha _{1}(U_{1}\cap U_{2})\subseteq V_{1}$ sprechen.