Ein
Unterraum
Y
⊆
X
{\displaystyle {}Y\subseteq X}
topologischen Raumes
X
{\displaystyle {}X}
Deformationsretrakt
von
X
{\displaystyle {}X}
stetige Abbildung
H
:
X
×
[
0
,
1
]
⟶
X
{\displaystyle H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X}
gibt mit
H
(
x
,
0
)
=
x
{\displaystyle {}H(x,0)=x\,}
für alle
x
∈
X
{\displaystyle {}x\in X}
H
(
x
,
1
)
∈
Y
{\displaystyle {}H(x,1)\in Y\,}
für alle
x
∈
X
{\displaystyle {}x\in X}
H
(
y
,
t
)
=
y
{\displaystyle {}H(y,t)=y\,}
für alle
y
∈
Y
{\displaystyle {}y\in Y}
t
{\displaystyle {}t}
Ein topologischer Raum ist genau dann kontrahierbar, wenn ein einzelner Punkt
{
P
}
{\displaystyle {}\{P\}}
Die kanonischen Abbildungen
π
1
(
Y
,
P
)
⟶
π
1
(
X
,
P
)
⟶
π
(
H
(
−
,
1
)
)
π
1
(
Y
,
P
)
{\displaystyle \pi _{1}(Y,P)\longrightarrow \pi _{1}(X,P){\stackrel {\pi (H(-,1))}{\longrightarrow }}\pi _{1}(Y,P)}
zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass
π
1
(
Y
,
P
)
{\displaystyle {}\pi _{1}(Y,P)}
Untergruppe
von
π
1
(
X
,
P
)
{\displaystyle {}\pi _{1}(X,P)}
γ
{\displaystyle {}\gamma }
X
{\displaystyle {}X}
P
{\displaystyle {}P}
Y
{\displaystyle {}Y}
Ψ
{\displaystyle {}\Psi }
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
⟶
γ
×
Id
[
0
,
1
]
X
×
[
0
,
1
]
⟶
H
X
{\displaystyle [0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X}
und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen
γ
{\displaystyle {}\gamma }
H
(
−
,
1
)
∘
γ
{\displaystyle {}H(-,1)\circ \gamma }
Y
{\displaystyle {}Y}
Ψ
(
s
,
0
)
=
H
(
γ
(
s
)
,
0
)
=
γ
(
s
)
{\displaystyle {}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,}
für alle
s
{\displaystyle {}s}
Ψ
(
s
,
1
)
=
H
(
γ
(
s
)
,
1
)
∈
Y
{\displaystyle {}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)\in Y\,}
für alle
s
{\displaystyle {}s}
Ψ
(
0
,
t
)
=
H
(
γ
(
0
)
,
t
)
=
H
(
P
,
t
)
=
P
{\displaystyle {}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,}
für alle
t
{\displaystyle {}t}
Ψ
(
1
,
t
)
=
H
(
γ
(
1
)
,
t
)
=
H
(
P
,
t
)
=
P
{\displaystyle {}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,}
für alle
t
{\displaystyle {}t}
◻
{\displaystyle \Box }
![{\displaystyle H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6198fb961f04193362bd6c40bfcb3a45f80df736)
![{\displaystyle H\colon {\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\right)}\times [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\,(x,y,t)\longmapsto {\left({\frac {t}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+1-t\right)}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d756b480b25026b0a4a820aceff2d06c4d1f4b7)
![{\displaystyle [0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770e5419a2b22fb6aff88292c4c72e7e3c579513)
