Topologischer Raum/Deformationsretrakt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Ein Unterraum  $Y\subseteq X$  eines topologischen Raumes $X$ heißt Deformationsretrakt von $X$, wenn es eine stetige Abbildung

$H:X\times [0,1]⟶X$

gibt mit

$H(x,0)=x$

für alle  $x\in X$, 

$H(x,1)\in Y$

für alle  $x\in X$, 

$H(y,t)=y$

für alle  $y\in Y$  und alle $t$.

Ein topologischer Raum ist genau dann kontrahierbar, wenn ein einzelner Punkt $\{P\}$ ein Deformationsretrakt des Gesamtraumes ist.

Beispiel

Wir betrachten den Kreis  $S^1\subseteq {ℝ}^2\setminus \{0\}$.  Die Abbildung

$H:({ℝ}^2\setminus \{0\})\times [0,1]⟶{ℝ}^2\setminus \{0\},(x,y,t)⟼(\frac{t}{\sqrt{x^2+y^2}}+1-t)(x,y),$

ist stetig und zeigt, dass der Einheitskreis ein Deformationsretrakt der punktierten Ebene ist. Es ist ja

$H(x,y,0)=(x,y),$

$H(x,y,1)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)\in S^1,$

und für  $(x,y)\in S^1$  ist

$H(x,y,t)=(x,y).$

Satz

Es sei  $Y\subseteq X$  ein Deformationsretrakt eines topologischen Raumes $X$ und  $P\in Y$. 

Dann sind die Fundamentalgruppen ${\pi }_1(Y,P)$ und ${\pi }_1(X,P)$ zueinander kanonisch isomorph.

Beweis

Die kanonischen Abbildungen

${\pi }_1(Y,P)⟶{\pi }_1(X,P)\stackrel{\pi (H(-,1))}{⟶}{\pi }_1(Y,P)$

zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass ${\pi }_1(Y,P)$ eine Untergruppe von ${\pi }_1(X,P)$ ist. Es sei $\gamma$ ein stetiger Weg in $X$ mit Aufpunkt $P$. Wir müssen zeigen, dass er homotop zu einem Weg in $Y$ ist. Wir betrachten dazu die zusammengesetzte Abbildung $\mathrm{\Psi }$

$[0,1]\times [0,1]\stackrel{\gamma \times {\mathrm{Id}}_{[0,1]}}{⟶}X\times [0,1]\stackrel{H}{⟶}X$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen $\gamma$ und dem Weg $H(-,1)\circ \gamma$ ist, der ganz in $Y$ verläuft. Dies folgt aus

$\mathrm{\Psi }(s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)$

für alle $s$,

$\mathrm{\Psi }(s,1)=H(\gamma (s),1)\in Y$

für alle $s$,

$\mathrm{\Psi }(0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P$

für alle $t$ und

$\mathrm{\Psi }(1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P$

für alle $t$.

$◻$