Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein topologischer Raum und . Ein reelles Vektorbündel vom Rang ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung derart, dass jede Faser ein -dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung und Homöomorphismen

über gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

induzieren.

Dabei nennt man auch den Totalraum und den Basisraum des Vektorbündels. Für die Faser schreibt man oft auch .

In der Homöomorphie ist die rechte Seite mit der Produkttopologie und der mit der natürlichen euklidischen Topologie und ist mit der induzierten Topologie von versehen. Somit tragen alle Fasern die natürliche Topologie eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes. Mit Homöomorphismus über ist gemeint, dass das Diagramm

kommutiert. Das Produkt ist ein Vektorbündel, das das triviale Vektorbündel heißt.



Lemma  

Es sei ein reelles Vektorbündel über einem topologischen Raum .

Dann ist zu jeder offenen Menge die Einschränkung

ebenfalls ein Vektorbündel.

Beweis  

Dies ist klar, man muss einfach nur die faserweise linearen Homöomorphismen

zu

einschränken.


Die Einschränkung eines Vektorbündels auf die ist trivial. Lokal ist also jedes Vektorbündel trivial.


Definition  

Es seien und reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ist eine stetige Abbildung über derart, dass für jeden Punkt die induzierte Abbildung

-linear ist.


Definition  

Es seien und reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus gibt, der verknüpft mit (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.