Ein topologischer Vektorraum
über
ist ein Vektorraum über dem Körper
, der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.
Sei
ein topologischer Raum mit einer Topologie
als System von offenen Mengen
und
, dann bezeichnet
die Menge aller Umgebungen vom Punkt
,
die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt
,
die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt 
Bemerkung: Indizierung mit der Topologie
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Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen
Raum auftreten können, wird der Index
als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.
Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung
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Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur
-Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus
eine Indexschranke
eines Netzes
finden, ab der alle
liegen mit
. Da die
-Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle
zu zeigen.
Sei
ein topologischer Raum,
,
eine Indexmenge (partielle Ordnung) und
ein Netz. Die Konvergenz von
gegen
wird dann wie folgt definiert:
.
(dabei ist "
" für
die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).
Sei
ein topologischer Raum,
und
die Menge aller Umgebungen von
.
heißt Umgebungsbasis von
, wenn es zu jedem :
Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen
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Sei
ein normierter Raum, dann bilden die
-Kugeln

eine Umgebungsbasis von
der Menge aller Umgebungen von
von
.
Sei
ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie
.
- Bestimmen Sie
für ein beliebiges
.
- Zeigen Sie, dass jede Folge
in
gegen einen beliebigen Grenzwert
konvergiert.
Sei
ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:
.
- Bestimmen Sie
für ein beliebiges
.
- Aus wie vielen Mengen besteht
minimal für ein beliebiges
?
- Geben Sie alle Folgen
in
formal an, die gegen einen Grenzwert
konvergieren!
Sei
ein topologischer Raum und
ist das System der offenen Mengen, d.h.:

Sei
ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag
, sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

- Zeigen Sie, dass
ein topologischer Raum ist.
- Zeigen Sie, dass die Folge
in dem topologischen Raum
nicht gegen
konvergiert.
Dabei ist
das Komplement von
in
.
Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie
sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.
Sei
ein topologischer Raum und
ist das System der offenen Mengen.

Sei
ein topologischer Raum und
, dann ist der offene
Kern
von
die Vereinigung aller offenen Teilmengen von
.

Sei
ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle
von
ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von
, die
enthalten und
offen ist.

Der topologische Rand
von
ist wie folgt definiert:

In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.
Sei
ein topologischer Raum und
eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet
die Menge aller mit
indizierten Familien in
:

Sei
ein Vektorraum, dann bezeichnet
die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in
:

Eine Algebra
über dem Körper
ist ein Vektorraum über
, in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

definiert ist, bei der für alle
und
folgende Eigenschaften erfüllt sind:

Eine topologische Algebra
über dem Körper
ist ein topologischer Vektorraum
über
, bei dem auch die Multiplikation

eine stetige innere Verknüfung ist.
Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale
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Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen
Die Algebra
heißt unital, falls sie ein neutrales Element
der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man
für alle
. Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit
bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.
Betrachten Sie die Menge
der quadratischen
-Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen (
ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass
mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.
Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.
Sei
eine topologische Algebra über dem Körper
,
und
Teilmengen von
, dann definiert man

Zeichnen Sie die folgenden Menge
der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem
mit
und
und den folgenden Intervallen
:
![{\displaystyle [1,4]\times [2,3]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6585a8d0e432f91e70afd61157dea69ffdd7148)

![{\displaystyle [1,2]\cdot M_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06955bef2577e496630ef6b95f570d006b4c63c)
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