Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra

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Definition: Topologischer Vektorraum[Bearbeiten]

Ein topologischer Vektorraum über ist ein Vektorraum über dem Körper , der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

Im folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definition: Umgebungen[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum mit eine Topologie als System von offenen Mengen und , dann bezeichnet

  • die Menge aller Umgebungen vom Punkt ,
  • die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt ,
  • die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt

Bemerkung: Indizierung mit der Topologie[Bearbeiten]

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.

Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung[Bearbeiten]

Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus eine Indexschranke eines Netzes finden, ab der alle liegen mit . Da die -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle zu zeigen.

Konvergenz in topologischen Räumen[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum, , eine Indexmenge (partielle Ordnung) und ein Netz. Die Konvergenz von gegen wird dann wie folgt definiert:

.

(dabei ist "" für die partiellle Ordnung auf der Indexmenge.

Definiton: Umgebungsbasis[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum, und die Menge aller Umgebungen von . heißt Umgebungsbasis von , wenn es zu jedem :

Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen[Bearbeiten]

Sei ein normierter Raum, dann bilden die -Kugeln

eine Umgebungsbasis von der Menge aller Umgebungen von von .

Aufgabe 1[Bearbeiten]

Sei ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie .

  • Bestimmen Sie für ein beliebiges .
  • Zeigen Sie, dass jede Folge in gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert.

Aufgabe 2[Bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:

.
  • Bestimmen Sie für ein beliebiges .
  • Aus wie vielen Mengen besteht minimal für ein beliebiges ?
  • Geben Sie alle Folgen in formal an, die gegen einen Grenzwert konvergieren!

Definition: Offene Mengen[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und ist das System der offenen Mengen, d.h.:

Aufgabe[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

  • Zeigen Sie, dass ein topologischer Raum ist.
  • Zeigen Sie, dass die Folge in dem topologischen Raum nicht gegen konvergiert.

Bemerkung: offen - abgeschlossen[Bearbeiten]

Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.

Definition: Abgeschlossene Mengen[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und ist das System der offenen Mengen.

Definition: Offener Kern[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und , dann ist der offene Kern von die Vereinigung aller offenen Teilmengen von .

Definition: Abgeschlossene Hülle[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle von ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von , die enthalten und offen ist.

Definition: Rand einer Menge[Bearbeiten]

Der topologische Rand von ist wie folgt definiert:

Bemerkung: Folgen und Netze[Bearbeiten]

In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.

Definition: Netze[Bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum und eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet die Menge aller mit indizierten Familien in :

Definition: endliche Folgen[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum, dann bezeichnet die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in :

Definition: Algebra[Bearbeiten]

Eine Algebra über dem Körper ist ein Vektorraum über , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

definiert ist, bei der für alle und folgende Eigenschaften erfüllt sind:

Definition: Topologische Algebra[Bearbeiten]

Eine topologische Algebra über dem Körper ist ein topologischer Vektorraum über , bei dem auch die Multiplikation

eine stetige innere Verknüfung ist.

Stetigkeit der Multiplikation[Bearbeiten]

Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

Multiplikative Topologie - Stetigkeit[Bearbeiten]

Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen

Unitale Algebra[Bearbeiten]

Die Algebra heißt unital, falls sie ein neutrales Element der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man für alle . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.


Aufgabe: Matrixalgebren[Bearbeiten]

Betrachten Sie die Menge der quadratischen -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen ( ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.

Definition: Mengen und Verknüpfungen[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra über dem Körper , und Teilmengen von , dann definiert man

Aufgaben[Bearbeiten]

Zeichnen Sie die folgenden Menge der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem mit und und den folgenden Intervallen :

Siehe auch[Bearbeiten]

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