Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra

Definition: Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle V}$ über $\mathbb {K}$ ist ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ , der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

{\begin{array}{rcl}\cdot :\mathbb {K} \times V&\longrightarrow &V\quad (\lambda ,v)\longmapsto \lambda \cdot v\\+:V\times V&\longrightarrow &V\quad (v,w)\longmapsto v+w\end{array}}

Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Definition: Umgebungen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum mit einer Topologie ${\mathcal {T}}$ als System von offenen Mengen ${\mathcal {T}}\subset \wp (X)$ und $a\in X$ , dann bezeichnet

${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a):=\left\{U\subseteq X\,:\,\exists _{U_{o}\in {\mathcal {T}}}:\,a\in U_{o}\subseteq U\right\}$ die Menge aller Umgebungen vom Punkt $a$ ,
${\stackrel {o}{\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(a):={\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\cap {\mathcal {T}}$ die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt $a$ ,
${\overline {\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(a):=\left\{{\overline {U}}\,:\,U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\right\}$ die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt $a$

Bemerkung: Indizierung mit der Topologie

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index ${\mathcal {T}}$ als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.

Bemerkung: Analogie zur Epsilonumgebung

Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur $\varepsilon$ -Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus $U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ eine Indexschranke $i_{U}\in I$ eines Netzes $(x_{i})_{i\in I}$ finden, ab der alle $x_{i}\in U$ liegen mit $i\geq i_{U}$ . Da die $\varepsilon$ -Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle $\varepsilon >0$ zu zeigen.

Konvergenz in topologischen Räumen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, $a\in X$ , $I$ eine Indexmenge (partielle Ordnung) und $(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}$ ein Netz. Die Konvergenz von $(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}$ gegen $a\in X$ wird dann wie folgt definiert:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {{\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{i\in I}}}\,x_{i}=a}&:\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\geq i_{U}}:\,x_{i}\in U\\\end{array}}

.

(dabei ist " $\leq$ " für $I$ die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).

Definiton: Umgebungsbasis

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum, $a\in X$ und ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ die Menge aller Umgebungen von $a\in X$ . ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)$ heißt Umgebungsbasis von ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ , wenn es zu jedem : ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)\subseteq {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\wedge \forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}\exists _{B\in {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)}:\,B\subseteq U$

Bemerkung: Epsilonkugeln in normierten Räumen

Sei $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Raum, dann bilden die $\varepsilon$ -Kugeln

B_{\varepsilon }^{\|\cdot \|}(a):=\left\{v\in V\,;\,\|v-a\|<\varepsilon \right\}

eine Umgebungsbasis von ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)$ der Menge aller Umgebungen von ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ von $a\in V$ .

Aufgabe 1

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie ${\mathcal {T}}:=\{\emptyset ,X\}$ .

Bestimmen Sie ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ für ein beliebiges $a\in X$ .
Zeigen Sie, dass jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $(X,{\mathcal {T}})$ gegen einen beliebigen Grenzwert $a\in X$ konvergiert.

Aufgabe 2

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:

d(x,y):=\left\{{\begin{array}{lcl}0&{\mbox{ für }}&x=y\\1&{\mbox{ für }}&x\not =y\\\end{array}}\right.

.

Bestimmen Sie ${\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)$ für ein beliebiges $a\in X$ .
Aus wie vielen Mengen besteht ${\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)$ minimal für ein beliebiges $a\in X$ ?
Geben Sie alle Folgen $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $(X,d)$ formal an, die gegen einen Grenzwert $a\in X$ konvergieren!

Definition: Offene Mengen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ ist das System der offenen Mengen, d.h.:

U\subseteq X{\mbox{ offen }}:\Longleftrightarrow U\in {\mathcal {T}}

Aufgabe

Sei $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag $|\cdot |$ , sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

U\in {\mathcal {T}}{\mbox{ offen }}:\Longleftrightarrow U=\emptyset {\mbox{ oder }}U\subseteq \mathbb {R} \,{\mbox{ mit }}\,U^{c}{\mbox{ abzählbar}}

Zeigen Sie, dass $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum ist.
Zeigen Sie, dass die Folge $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ in dem topologischen Raum $(\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})$ nicht gegen $0$ konvergiert.

Dabei ist $U^{c}:=\mathbb {R} \setminus U$ das Komplement von $U$ in $\mathbb {R}$ .

Bemerkung: offen - abgeschlossen

Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.

Definition: Abgeschlossene Mengen

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)$ ist das System der offenen Mengen.

M\subseteq X{\mbox{ abgeschlossen }}:\Longleftrightarrow \exists _{U\in {\mathcal {T}}}:\,M=U^{c}:=X\setminus U

Definition: Offener Kern

Sei $(V,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und $M\subset V$ , dann ist der offene Kern ${\stackrel {\circ }{M}}$ von $M$ die Vereinigung aller offenen Teilmengen von $M$ .

{\stackrel {\circ }{M}}:=\bigcup _{U\in {\mathcal {T}},U\subseteq M}U

Definition: Abgeschlossene Hülle

Sei $(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle ${\overline {M}}$ von $M$ ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von $W=U^{c}$ , die $M$ enthalten und $U$ offen ist.

{\overline {M}}:=\bigcap _{U\in {\mathcal {T}},U^{c}:=X\setminus U\supseteq M}U^{c}

Definition: Rand einer Menge

Der topologische Rand $\partial M$ von $M$ ist wie folgt definiert:

\partial M:={\overline {M}}\backslash {\stackrel {\circ }{M}}

Bemerkung: Folgen und Netze

In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.

Definition: Netze

Sei $T$ ein topologischer Raum und $I$ eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet $T^{I}$ die Menge aller mit $I$ indizierten Familien in $T$ :

T^{I}:=\{(t_{i})_{i\in I}:t_{i}\in T{\mbox{ für alle }}i\in I\}

Definition: endliche Folgen

Sei $V$ ein Vektorraum, dann bezeichnet $c_{oo}(V)$ die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in $V$ :

c_{oo}(V):=\left\{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in V^{\mathbb {N} _{0}}:\exists _{\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}\forall _{\displaystyle n\geq N}:\,v_{n}=0\right\}.

Definition: Algebra

Eine Algebra $A$ über dem Körper $\mathbb {K}$ ist ein Vektorraum über $\mathbb {K}$ , in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

\cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w

definiert ist, bei der für alle $x,y,z\in A$ und $\lambda \in \mathbb {K}$ folgende Eigenschaften erfüllt sind:

{\begin{array}{rcl}x\cdot (y\cdot z)&=&(x\cdot y)\cdot z\\x\cdot (y+z)&=&x\cdot y+x\cdot z\\(x+y)\cdot z&=&x\cdot z+y\cdot z\\\lambda \cdot (x\cdot y)&=&(\lambda \cdot x)\cdot y=x\cdot (\lambda \cdot y)\end{array}}

Definition: Topologische Algebra

Eine topologische Algebra $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ über dem Körper $\mathbb {K}$ ist ein topologischer Vektorraum $(A,{\mathcal {T}}_{A})$ über $\mathbb {K}$ , bei dem auch die Multiplikation

\cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w

eine stetige innere Verknüfung ist.

Stetigkeit der Multiplikation

Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}\,(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}\,(0)}:V\cdot V=V^{2}\subset U

Multiplikative Topologie - Stetigkeit

Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}\,(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}\,(0)}:V^{2}\subset V\subset U

Bemerkung: Multiplikative Topologie - Gaugefunktionale

Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen

Unitale Algebra

Die Algebra $A$ heißt unital, falls sie ein neutrales Element $e$ der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man $x^{o}:=e$ für alle $x\in A$ . Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit ${\mathcal {G}}(A)$ bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.

Aufgabe: Matrixalgebren

Betrachten Sie die Menge $V$ der quadratischen $2\times 2$ -Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen ( $V$ ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass $V$ mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.

Faltung auf dem Funktionenraum

Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.

Definition: Mengen und Verknüpfungen

Sei $(A,{\mathcal {T}})$ eine topologische Algebra über dem Körper $\mathbb {K}$ , $\Lambda \subset \mathbb {K}$ und $M_{1},M_{2}$ Teilmengen von $A$ , dann definiert man

{\begin{array}{rcl}M_{1}\times M_{2}&:=&\{(m_{1},m_{2})\in A\times A\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\M_{1}+M_{2}&:=&\{m_{1}+m_{2}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\M_{1}\cdot M_{2}&:=&\{m_{1}\cdot m_{2}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\\Lambda \cdot M_{1}&.=&\{\lambda \cdot m_{1}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge \lambda \in \Lambda \}.\\\end{array}}

Aufgaben

Zeichnen Sie die folgenden Menge $M_{k}$ der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem $\mathbb {R} ^{2}$ mit $M_{1}:=\left\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\}$ und $M_{2}:=\left\{{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$ und den folgenden Intervallen $[a,b]\in \mathbb {R}$ :