Varietät/Morphismen/Elliptische Kurve/Kurzübersicht/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${}{\psi }$ einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$ gehört.

Jede reguläre Funktion auf ${}U$ definiert einen Morphismus

$U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}.$

Ein Morphismus

$U\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

ist nichts anderes als ein Tupel von ${}n$ regulären Funktionen. Ein Morphismus

$U\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

ist einfach ein Morphismus nach ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, dessen Bild in der abgeschlossenen Teilmenge ${}V({\mathfrak {a}})$ landet. Für affine Varietäten

${}X=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

und

${}Y=V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\,$

ist ein Morphismus

$V({\mathfrak {b}})\longrightarrow V({\mathfrak {a}})$

äquivalent zu einem ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\longrightarrow K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]/{\mathfrak {b}},$

also gegeben durch ${}n$ Polynome ${}P_{i}$ in ${}m$ Variablen ${}Y_{j}$, die ${}F(P_{1},\ldots ,P_{n})\in {\mathfrak {b}}$ für ${}F\in {\mathfrak {a}}$ erfüllen müssen. Da ein Morphismus ein lokales Konzept ist, kann man einen Morphismus

$Y\longrightarrow X$

auf diese affine Situation zurückführen. Zu einer offenen affinen Überdeckung

${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und einer affinen Überdeckung

${}{\psi }^{-1}(U_{i})=\bigcup _{j\in J_{i}}V_{j}\,$

muss

$V_{j}\longrightarrow U_{i}$

ein Morphismus zwischen affinen Varietäten sein, also durch einen Ringhomomorphismus zwischen ${}K$-Algebren und damit durch Polynome festgelegt sein.

Zu irreduziblen Varietäten ${}X,Y$ und einem Morphismus

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

mit der Eigenschaft, dass das Bild von ${}Y$ in ${}X$ dicht ist, ist zu jeder offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ der Ringhomomorphismus

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$

injektiv ist. In dieser Situation erhält man einen Ringhomomorphismus

$Q(X)\longrightarrow Q(Y)$

der zugehörigen Funktionenkörper.

Bemerkung  

Eine glatte Varietät ${}X$ über ${}{\mathbb {C} }$ kann man als eine komplexe Mannigfaltigkeit ${}X^{h}$ auffassen, wobei sich die komplexe (feine) Topologie und die holomorphe Struktur lokal aus der Situation

${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}={\mathbb {C} }^{n}\,$

ergibt. Zu einem Morphismus

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

zwischen glatten Varietäten über ${}{\mathbb {C} }$ gehört auch eine holomorphe Abbildung

${\psi }^{h}\colon Y^{h}\longrightarrow X^{h}.$

Dies beruht darauf, dass rationale Funktionen, also Quotienten aus Polynomen in mehreren Variablen, holomorph sind.