Vektorräume/Homomorphiesatz/Textabschnitt
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei eine lineare Abbildung und eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Für jedes Element gibt es mindestens ein mit . Wegen der Kommutativität muss gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein geben kann. Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also zwei Urbilder von . Dann ist
und daher ist
.
Die Abbildung ist also wohldefiniert.
Es seien
und seien
Urbilder davon. Dann ist ein Urbild von und daher ist
D.h. ist mit der Addition verträglich.
Es sei
mit einem Urbild
und sei
.
Dann ist ein Urbild von und daher ist
also ist auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt induzierte lineare Abbildung und entsprechend heißt der Satz auch der Satz über die induzierte Abbildung.
Es sei ein Körper und es sei
eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische lineare Isomorphie
Wir wenden Fakt auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert eine lineare Abbildung
mit , die surjektiv ist. Sei und . Dann ist
also . Damit ist in , d.h. der Kern von ist trivial und nach Fakt ist auch injektiv.
Es sei ein Körper und es sei
eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Vektorraum-Isomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildraumes in ist.
Dies folgt aus Fakt, angewendet aud die surjektive Abbildung
Diese Aussage wird häufig kurz und prägnant so formuliert:
- Bild Urbild modulo Kern.