Vektorraum/Bidual/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums $V^{*}$ , also

{(V^{*})}^{*}

das Bidual von $V$ .

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum.

Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

$Ψ : V ⟶ {(V^{*})}^{*}, v ⟼ (f \mapsto f (v)) .$

Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ist $Ψ$ ein Isomorphismus.

Beweis

Es sei $v \in V$ fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass $Ψ (v)$ eine Linearform auf dem Dualraum $V^{*}$ ist. Offenbar ist $Ψ (v)$ eine Abbildung von $V^{*}$ nach $K$ . Die Additivität ergibt sich aus

(Ψ (v)) (f_{1} + f_{2}) = (f_{1} + f_{2}) (v) = f_{1} (v) + f_{2} (v) = (Ψ (v)) (f_{1}) + (Ψ (v)) (f_{2}),

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

(Ψ (v)) (s f) = (s f) (v) = s (f (v)) = s ((Ψ (v)) (f)) .

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien $v, w \in V$ . Es ist die Gleichheit

Ψ (v + w) = Ψ (v) + Ψ (w)

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ${(V^{*})}^{*}$ ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei $f \in V^{*}$ beliebig. Dann folgt die Additivität aus

(Ψ (v + w)) (f) = f (v + w) = f (v) + f (w) = (Ψ (v)) (f) + (Ψ (w)) (f) .

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

(Ψ (s v)) (f) = f (s v) = s (f (v)) = s ((Ψ (v)) (f)) .

Zum Nachweis der Injektivität sei $v \in V$ mit $Ψ (v) = 0$ gegeben. D.h. für alle Linearformen $f \in V^{*}$ ist $f (v) = 0$ . Dann ist aber nach Fakt schon

v = 0

und nach dem Injektivitätskriterium ist $Ψ$ injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Fakt.

◻

Die Abbildung $Ψ$ bildet also einen Vektor $v$ auf die Auswertung (oder Auswertungsabbildung) ab, die eine Linearform $f$ an der Stelle $v$ auswertet.