Vektorraum/Bidual/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums , also

das Bidual von .



Lemma  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum.

Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

Wenn endlichdimensional ist, so ist ein Isomorphismus.

Beweis  

Sei fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien . Es ist die Gleichheit

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei beliebig. Dann folgt die Additivität aus

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. D.h. für alle Linearformen ist . Dann ist aber nach Fakt schon

und nach dem Injektivitätskriterium ist injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Fakt.


Die Abbildung bildet also einen Vektor auf die Auswertung (oder Auswertungsabbildung) ab, die eine Linearform an der Stelle auswertet.