Wachstum einer Population/Logistische Differentialgleichung/Beispiel

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Es sei die Größe einer Population zu einem Zeitpunkt . Wie setzen voraus, dass die Populationsentwicklung differenzierbar ist; die Ableitung repräsentiert dann das (infinitesimale) Bevölkerungswachstum zum Zeitpunkt . Den Quotienten

nennt man die Wachstumsrate zum Zeitpunkt . Wir fragen uns, inwiefern man den Populationsverlauf aus der Wachstumsrate rekonstruieren kann. Die Wachstumsrate kann von der Zeit (Jahreszeit, Nahrungsvorkommen, Entwicklung von anderen Populationen etc.) abhängen, aber auch von der aktuellen Populationsgröße . Die Zeitabhängigkeit der Wachstumsrate beruht auf äußeren Einflüssen, während die Abhängigkeit von der aktuellen Populationsgröße eine innere Dynamik ausdrückt. Sie beruht darauf, dass eine große Population sich hemmend auf die Fortpflanzung auswirkt.

Wir beschränken uns auf eine Situation, wo die Wachstumsrate nur von der Populationsgröße abhängt, nicht aber von sonstigen Einflüssen. Dann wird die Wachstumsrate durch eine Funktion beschrieben, und die Wachstumsrate zum Zeitpunkt ist demnach durch gegeben. Die Wachstumsrate wirkt sich auf die Populationsentwicklung aus. Gemäß dem oben formulierten Zusammenhang gilt

Es liegt also eine Differentialgleichung der Form

vor, die zeitunabhängig ist, so dass insbesondere getrennte Variablen vorliegen (mit der Funktion ). Bei konstanter Wachstumsrate liegt die Differentialgleichung vor, deren Lösungen die Funktionen sind. Das bedeutet exponentielles Wachstum.

Wenn wir die Wachstumsrate so ansetzen, dass es bei einer gewissen Populationsgröße kein Wachstum mehr gibt, und bei sehr kleiner Bevölkerung die Wachstumsrate maximal gleich ist, und dazwischen die Wachstumsrate linear von abhängt, so erhält man die Wachstumsrate

und die Differentialgleichung

Eine solche Differentialgleichung nennt man logistische Differentialgleichung. Gemäß dem Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen müssen wir eine Stammfunktion zu

finden. Eine solche Stammfunktion ist

Zur Berechnung der Umkehrfunktion lösen wir die Gleichung

nach auf. Es ergibt sich

und daraus

und damit

Da die Differentialgleichung zeitunabhängig ist, ist

eine Lösung. Bei ist , für strebt die Lösung gegen (die Grenzbevölkerung) und für gegen .