Wegintegral/Vektorfeld/Gradientenfeld/Textabschnitt
Lemma
Es sei eine offene Teilmenge und
eine stetig differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in .
Dann gilt für das Wegintegral
D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab.
Beweis
Aufgrund der Kettenregel ist
Korollar
Es sei eine offene Teilmenge und
eine differenzierbare Funktion mit dem zugehörigen Gradientenfeld . Es sei ein stetig differenzierbarer Weg mit .
Dann ist
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt.
Satz
Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge und
ein stetiges Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.
- ist ein Gradientenfeld.
- Für jeden stetig differenzierbaren Weg hängt das Wegintegral nur vom Anfangspunkt und Endpunkt ab.
Beweis
Die Implikation folgt aus
Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft erfüllt. Wir geben eine auf definierte Funktion an, die differenzierbar ist und deren
Gradientenfeld
gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt
fixiert. Für jeden Punkt
gibt es einen
stetig differenzierbaren Weg
mit und . Wir setzen
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt und in jede Richtung differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit übereinstimmt. Dazu betrachten wir
wobei der verbindende lineare Weg von nach auf sei (und hinreichend klein sei, so dass ist). Für den Differentialquotienten ist
Somit existiert die Richtungsableitung von in Richtung und hängt stetig von ab. Diese Gleichung zeigt ferner
so dass das Gradientenfeld zu ist.