Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}R=A_{D}$.  Wir betrachten den Restklassenring  ${}L=R/(p)$,  der eine quadratische Erweiterung des Körpers ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist. Damit gibt es nach Fakt die drei Möglichkeiten:

1. ${}L$ ist ein Körper.
2. ${}L$ ist von der Form  ${}L=\mathbb {Z} /(p)[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$. 
3. ${}L$ ist der Produktring  ${}L\cong \mathbb {Z} /(p)\times \mathbb {Z} /(p)$. 

Im ersten Fall ist ${}p$ ein Primelement in ${}R$. Im zweiten Fall besitzt ${}L$ genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich ${}\mathbb {Z} /(p)$. Nach der in Aufgabe bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit  ${}(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$  (das dem Ideal ${}(\epsilon )$ im Restklassenring entspricht). Dann ist  ${}{\mathfrak {p}}=(p,\epsilon )$  (wobei hier ${}\epsilon$ ein Repräsentant in ${}R$ sei) und  ${}{\mathfrak {p}}^{2}=(p)$. 

Im dritten Fall besitzt ${}L$ zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach ${}R$ heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ gibt mit  ${}(p)\subset {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$  und mit  ${}(p)={\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}$.  Nach Aufgabe ist  ${}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}$.  Mit  ${}(p)\subset {\mathfrak {p}}$  ist auch  ${}(p)\subset {\overline {\mathfrak {p}}}$.  Wir zeigen, dass  ${}{\overline {\mathfrak {p}}}={\mathfrak {q}}$  ist, d.h., dass die beiden Primideale über ${}p$ konjugiert vorliegen. Da nach Fakt bei ${}p{|}\triangle$ der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass ${}p$ die Diskriminate nicht teilt.

Bei  ${}D=2,3\mod 4$  ist ${}p$ ungerade und ${}D$ ist ein Quadratrest modulo ${}p$. Es seien ${}a$ und ${}-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo ${}p$. Dann werden die beiden Primideale durch ${}(p,a\pm {\sqrt {D}})$ beschrieben, und diese sind konjugiert.

Bei  ${}D=1\mod 4$  und ${}p$ ungerade ist nach der Bemerkung über die explizite Beschreibung der Faserringe ${}D$ wieder ein Quadratrest modulo ${}p$. Es seien ${}a$ und ${}-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln von ${}D$ modulo ${}p$. Dann ist  ${}\omega -{\frac {1}{2}}=\pm {\frac {a}{2}}$  und daher sind die beiden Primideale gleich  ${}{\left(p,\omega \pm a-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(p,{\frac {a\pm {\sqrt {D}}}{2}}\right)}$,  sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Bei  ${}D=1\mod 4$  und  ${}p=2$  ist nach der Bemerkung  ${}D=1\mod 8$.  Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann ${}0$ und ${}1$. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch ${}(2,\omega )$ und ${}(2,\omega -1)$. Es ist  ${}(2,\omega )={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}\right)}$  und  ${}(2,\omega -1)={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}-1\right)}={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}-1}{2}}\right)}$,  sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage