Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei . Wir betrachten den Restklassenring , der eine quadratische Erweiterung des Körpers ist. Damit gibt es nach Fakt die drei Möglichkeiten:

  1. ist ein Körper.
  2. ist von der Form .
  3. ist der Produktring .

Im ersten Fall ist ein Primelement in . Im zweiten Fall besitzt genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich . Nach der in Aufgabe bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal mit (das dem Ideal im Restklassenring entspricht). Dann ist (wobei hier ein Repräsentant in sei) und .

Im dritten Fall besitzt zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale und gibt mit und mit . Nach Fakt ist . Mit ist auch . Wir zeigen, dass ist, d.h., dass die beiden Primideale über konjugiert vorliegen. Da nach Fakt bei der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass die Diskriminate nicht teilt.

Bei ist ungerade und ist ein Quadratrest modulo . Seien und die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo . Dann werden die beiden Primideale durch beschrieben, und diese sind konjugiert.

Bei und ungerade ist nach der Fakt über die explizite Beschreibung der Faserringe wieder ein Quadratrest modulo . Seien und die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln von modulo . Dann ist und daher sind die beiden Primideale gleich , so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Bei und ist nach der Fakt . Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann und . Daher sind die Primideale darüber gegeben durch und . Es ist und , so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage