Zyklische SL2 Operation/Ebene/Fundamentalgruppe/2/Beispiel

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Wir betrachten die durch

mit

gegebene Graduierung auf , die der linearen Operation der Matrizen

zu einer -ten primitiven Einheitswurzel entspricht, vergleiche dazu Beispiel. Der Kern ist durch

und das Monoid durch

gegeben, der Invariantenring ist . Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also der einzige Fixpunkt und die Operation auf ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

gleich ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch

mit

gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach fortsetzen, allerdings lässt sich das -fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem - Algebrahomomorphismus

mit , und , was wiederum der stetigen Abbildung

(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.