Affiner Raum/Affine Basen/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Eine Familie von Punkten , , in einem affinen Raum über einem -Vektorraum heißt eine affine Basis von , wenn zu einem die Vektorfamilie

eine Basis von ist.

Wegen

kann man die Basisvektoren zum Ursprungspunkt als Linearkombination durch die Vektoren zu einem beliebigen anderen Ursprungspunkt der Familie ausdrücken. Daher ist die Eigenschaft, eine affine Basis zu sein, unabhängig von dem gewählten .

Die baryzentrischen Koordinaten in der Ebene, wobei die affinen Basispunkte die Eckpunkte eines Dreiecks bilden.


Definition  

Zu einer Familie , , von Punkten in einem affinen Raum und einem Zahltupel , , mit

(bei unendlichem ist dies so zu verstehen, dass nur endlich viele der von verschieden sein können) heißt die Summe baryzentrische Kombination der . Der zugehörige Punkt in ist durch

gegeben, wobei ein beliebiger Punkt aus ist.



Lemma

Zu einer Familie , , von Punkten in einem affinen Raum ist durch eine baryzentrische Kombination

ein eindeutiger Punkt in definiert.

Beweis

Siehe Aufgabe.




Satz  

Es sei , , eine affine Basis in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .

Dann gibt es für jeden Punkt eine eindeutige baryzentrische Darstellung

Beweis  

Sei fixiert. Es gibt dann in eine eindeutige Darstellung

Wir setzen

Dann ist und

Es gibt also eine solche Darstellung mit als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die , , durch die eindeutig bestimmten Koeffizienten der Vektorraumbasis festgelegt sind und dass durch die baryzentrische Bedingung festgelegt ist.


Die Farben bei additiver Farbmischung mit den Primärfarben Rot, Blau und Grün (dies entspricht den drei Zapfen im menschlichen Auge). Da es für das Auge nur auf das Mischverhältnis der drei Farben ankommt, kann man sich auf Linearkombinationen mit (und nichtnegativen Koeffizienten) beschränken. Farben werden also durch baryzentrische Koordinaten beschrieben, dadurch spart man eine Dimension.


Definition  

Es sei , , eine affine Basis in einem affinen Raum über dem -Vektorraum . Dann nennt man die zu einem Punkt eindeutig bestimmten Zahlen

mit

die baryzentrischen Koordinaten von .


Beispiel  

Es sei , , eine affine Basis in einem affinen Raum über dem -Vektorraum . Dann besitzt der Punkt () die baryzentrischen Koordinaten , wobei die an der -ten Stelle steht (und als endlich und geordnet angenommen wird).