Algebraische Elemente/Minimalpolynom/Hauptideal/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und eine kommutative -Algebra. Es sei ein Element. Dann heißt algebraisch über , wenn es ein von verschiedenes Polynom mit gibt.

Wenn ein Polynom das algebraische Element annulliert (also ist), so kann man durch den Leitkoeffizienten dividieren und erhält dann auch ein normiertes annullierendes Polynom.


Definition  

Es sei ein Körper und eine -Algebra. Es sei ein über algebraisches Element. Dann heißt das normierte Polynom mit , welches von minimalem Grad mit dieser Eigenschaft ist, das Minimalpolynom von .

Wenn nicht algebraisch ist, so wird das Nullpolynom als Minimalpolynom betrachtet.


Beispiel  

Bei einer Körpererweiterung sind die Elemente trivialerweise algebraisch, und zwar ist jeweils das Minimalpolynom. Weitere Beispiele liefern über die komplexen Zahlen , etc. Annullierende Polynome aus sind dafür , , (es handelt sich dabei übrigens um die Minimalpolynome, was in den ersten beiden Fällen einfach und im dritten Fall etwas schwieriger zu zeigen ist). Man beachte, dass beispielsweise zwar ein annullierendes Polynom für ist, dessen Koeffizienten aber nicht zu gehören.




Lemma  

Sei ein Körper, eine -Algebra und ein Element. Es sei das Minimalpolynom von über .

Dann ist der Kern des kanonischen -Algebrahomomorphismus

das von erzeugte Hauptideal.

Beweis  

Wir betrachten den kanonischen Einsetzungshomorphismus

Dessen Kern ist nach Fakt und nach Fakt ein Hauptideal, sagen wir , wobei wir als normiert annehmen dürfen (im nicht-algebraischen Fall liegt das Nullideal vor und die Aussage ist trivialerweise richtig). Das Minimalpolynom gehört zu . Andererseits ist der Grad von größer oder gleich dem Grad von , da ja dessen Grad minimal gewählt ist. Daher muss der Grad gleich sein und somit ist , da beide normiert sind.