Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung ${}\varphi$ ist genau dann im Punkt ${}x$ stetig, wenn für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}L$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ auch die Bildfolge ${}{\left(\varphi (x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit dem Grenzwert ${}\varphi (x)$ ist.
2. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}G$ die Gramsche Matrix zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis. Die Determinanten ${}D_{k}$ der quadratischen Untermatrizen

   $M_{k}=(\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle )_{1\leq i,j\leq k}$

   seien alle von ${}0$ verschieden für ${}k=1,\ldots ,n$. Es sei ${}q$ die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

   $D_{0}=1,\,D_{1}=\det M_{1},\,D_{2}=\det M_{2},\ldots ,D_{n}=\det M_{n}=\det G.$

   Dann ist ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ

   ${}(n-q,q)$.
3. Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ euklidische Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

   $\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

   $\left(D\varphi \right)_{P}$

   bijektiv ist. Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

   $\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

   induziert, und dass die Umkehrabbildung

   $(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

   ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe