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Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte und auf gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen und definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
  2. Es sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis und es seien die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

    Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Genau dann ist positiv definit, wenn alle positiv sind.
    2. Genau dann ist negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge an jeder Stelle wechselt.
  3. Es sei eine offene Teilmenge und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser von über . Es sei

    eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt ein lokales Extremum auf und sei ein regulärer Punkt von . Dann ist

    d.h. die Linearform verschwindet auf dem Tangentialraum

    an der Faser von durch .