Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Es sei ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum. Es seien zwei Skalarprodukte und auf gegeben. Dann stimmen die über die zugehörigen Normen und definierten Topologien überein, d.h. eine Teilmenge ist genau dann offen bezüglich der einen Metrik, wenn sie offen bezüglich der anderen Metrik ist.
- Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis und es seien die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
Dann gelten folgende Aussagen.
- Genau dann ist positiv definit, wenn alle positiv sind.
- Genau dann ist negativ definit, wenn das Vorzeichen in der Folge an jeder Stelle wechselt.
- Es sei
eine offene Teilmenge und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei die Faser von über . Es sei
eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion besitze im Punkt ein lokales Extremum auf und sei ein regulärer Punkt von . Dann ist
d.h. die Linearform verschwindet auf dem Tangentialraum
an der Faser von durch .