Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Die Abbildung ${}\varphi$ ist genau dann stetig, wenn sämtliche Komponentenfunktionen ${}\varphi _{i}$ stetig sind.
2. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge und sei

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}M=f^{-1}(b)$ die Faser von ${}f$ über ${}b\in \mathbb {R} ^{m}$. Es sei

   $h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine differenzierbare Funktion und die eingeschränkte Funktion ${}h{|}_{M}$ besitze im Punkt ${}a\in M$ ein lokales Extremum auf ${}M$ und ${}a$ sei ein regulärer Punkt von ${}f$. Dann ist

   ${}T_{a}M\subseteq \operatorname {kern} \left(Dh\right)_{a}\,,$

   d.h. die Linearform ${}\left(Dh\right)_{a}$ verschwindet auf dem Tangentialraum

   an der Faser von ${}f$ durch ${}a$.
3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

   $f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

   ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$ das lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt. Es sei ${}J\subseteq I$ ein offenes Teilintervall und es seien

   $v_{1},v_{2}\colon J\longrightarrow V$

   Lösungen des Anfangswertproblems

   $v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w.$

   Dann ist ${}v_{1}=v_{2}$.

Zur gelösten Aufgabe