Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Simpliziale Komplexe

Definition

Unter einem simplizialen Komplex auf einer endlichen Menge ${}V$ versteht man eine Ansammlung ${}\Delta$ von Teilmengen von ${}V$, die die Eigenschaft erfüllen, dass für ${}F\in \Delta$ und ${}E\subseteq F$ auch ${}E\in \Delta$ gilt.

Definition

Zu einer endlichen Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$ und einem ${}\epsilon \geq 0$ versteht man unter dem Vietoris-Rips-Komplex ${}VR_{\epsilon }(T)$ denjenigen Simplizialkomplex mit Eckenmenge ${}T$, bei dem ${}S\subseteq T$ genau dann eine Seite ist, wenn

${}d(x,y)\leq \epsilon \,$

für alle ${}x,y\in S$ ist.

Für ${}\epsilon =0$ ist dies der diskrete nulldimensionale Simplizialkomplex, bei ${}\epsilon$ hinreichend groß ist die der totale Simplizialkomplex. Der Vietoris-Rips-Komplex ist durch sein eindimensionales Gerüst bestimmt, eine Teilmenge ist genau dann eine Seite, wenn jede zweielementige Teilmenge davon eine Seite ist. Der Vietoris-Rips-Komplex ist durch die Menge ${}T$ mit der induzierten Metrik vollständig bestimmt. Für ${}\epsilon \leq \epsilon '$ gibt es eine natürliche Inklusion (Identität auf der Punktmenge, Seite werden auf Seiten abgebildet)

$VR_{\epsilon }(T)\longrightarrow VR_{\epsilon '}(T).$

Definition

Zu einer endlichen Teilmenge ${}T\subseteq M$ in einem metrischen Raum ${}M$ und einem ${}\epsilon \geq 0$ versteht man unter dem Čech-Komplex ${}{\text{ Čech}}_{\epsilon }(T)$ denjenigen Simplizialkomplex mit Eckenmenge ${}T$, bei dem ${}S\subseteq T$ genau dann eine Seite ist, wenn

${}\bigcap _{x\in S}U{\left(x,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,$

ist.

Der Čech-Komplex hängt von dem umgebenden metrischen Raum ab, da ja die Eigenschaft, ob Durchschnitte leer oder nicht leer sind, davon abhängen.

Definition

Ein Filtrierung eines Simplizialkomplexes ${}\Delta$ ist eine Folge ${}\Delta _{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von Simplizialkomplexen mit ${}\Delta _{n}\subseteq \Delta _{n+1}$ und mit

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Delta _{n}=\Delta \,.$

Dabei kann insbesondere auch die zugrunde liegende Punktmenge wachsen, man verlangt keine Systematik im Wachstum, es können also bei jedem Schritt in jeder Dimension Seiten hinzukommen.

Die (Binoide und die) Stanley-Reisner-Ringe zu dieser Folge sind dazu kontravariant, die Achsenkonfiguratuionen (Spektra) wiedr kovariant. Da man das Wachstum beliebig verfeinern kann, kann man auf den Fall reduzieren, wo in jedem Schritt genau eine Seite hinzukommt, was ein einzelner Punkt sein kann.

Eine ${}n$-dimensionale Seite ${}S$ eines Simplizialkomplexes ${}\Delta$ heißt orientiert, wenn eine Reihenfolge auf ${}S=\{v_{0},\ldots ,v_{n}\}$ festgelegt ist. Eine weitere Reihenfolge heißt dazu orientierungstreu, wenn das Vorzeichen der zugehörigen Übergangspermutation gleich ${}1$ ist.

Zu einem Simplizialkomplex ${}\Delta$ und einer kommutativen Gruppe ${}A$ heißt

${}C_{n}(\Delta ):=\bigoplus _{S\in \Delta _{n}}Ae_{S}\,,$

also der freie ${}A$-Modul mit der Basis ${}e_{S}$ für orientierte Seiten der Dimension ${}n$, die Gruppe der ${}n$-ten orientierten Ketten über ${}A$. Jede Seite ist mit einer Orientierung präsent. Wenn man auf der Trägermenge eine Reihenfolge fixiert, so ergibt sich auch auf jeder Seite eine induzierte Reihenfolge, die man nehmen kann.

Es wird ein ${}A$-Modulhomomorphismus

$\partial \colon C_{n}(\Delta )\longrightarrow C_{n-1}(\Delta ),\,\{v_{0},\ldots ,v_{n}\}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\{v_{0},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1}v_{n}\}$

definiert. Mit diesen Abbildungen liegt der simpliziale Kettenkomplex ${}C_{\bullet }(\Delta ,A)$ vor, seine Homologie ist die simpliziale Homologie.

Zu einem Simplizialkomplex ${}\Delta$ mit einer kontinuierlichen (oder diskreten) Filtrierung ${}\Delta ^{\alpha }$ mit ${}\alpha \in \mathbb {R} _{\geq 0}$ (${}\alpha \in \mathbb {N}$) kann man einen Komplex über dem Monoidring ${}R[\mathbb {R} _{\geq 0}]$ (bzw. ${}R[\mathbb {N} ]=R[t]$) angeben, der die volle Information enthält. Für einen Körper ${}R=K$ ist dabei ${}K[t]$ ein Hauptidealbereich und ${}K[\mathbb {R} _{\geq 0}]$ ein graduierter Bezoutbereich. ${}K[[\mathbb {R} _{\geq 0}]]$ ist ein Bezoutbereich, ebenso ${}K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ (Pusieux). Wir schreiben ${}R[N]$ für eine additive Halbgruppe ${}N\subseteq \mathbb {R}$. Für jede ${}k$-dimensionale Seite ${}\sigma \in \Delta$ sei ${}\alpha (\sigma )\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ der Startzeitpunkt von ${}\sigma$, also der minimale Zeitpunkt ${}\alpha$, für den ${}\sigma \in \Delta ^{\alpha }$ gilt. Im folgenden Komplex treten nur Seiten auf, die irgendwann existieren. Wir setzen

${}C_{k}:=\bigoplus _{\sigma \in \Delta _{k}}R[N]e_{\sigma }\,,$

wobei ${}e_{\sigma }$ den Grad ${}\alpha (\sigma )$ bekommt. Dieser freie ${}R[N]$-Modul der Ketten ist ${}N$-graduiert. Die Abbildung

$C_{k}\longrightarrow C_{k-1},\,e_{\sigma }\longmapsto \sum _{v\in \sigma }\pm t^{\alpha (\sigma )-\alpha (\sigma \setminus \{v\})}e_{\sigma \setminus \{v\}},$

ist homogen vom Grad ${}0$ und ergibt insgesamt den totalen ${}R[N]$-Komplex zur ${}N$-Filtrierung. Zum Zeitpunkt ${}\beta$ ergibt die Komponente zum Grad ${}\beta$ des Gesamtkomplexes den ${}R$-Kettenkomplex von ${}\Delta ^{\alpha }$.