Biliearform/Einführung/Textabschnitt

Reelle Skalarprodukte sind positiv definite symmetrische Bilinearformen. In den folgenden Vorlesungen besprechen wir Bilinearformen allgemein. Neben Skalarprodukten sind die Hesse-Formen wichtig, die in der höherdimensionalen Analysis betrachten werden, um Extrema zu bestimmen und die Minkowski-Formen, mit denen man die spezielle Relativitätstheorie beschreiben kann

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Bilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}K$-linear sind.

Bilinear bedeutet einfach multilinear in zwei Komponenten, diese Eigenschaft haben wir schon im Zusammenhang mit Determinanten kennengelernt. Ein extremes Beispiel ist die Nullform, die jedem Paar den Nullwert zuordnet. Es ist einfach, eine Vielzahl von Bilinearformen auf dem ${}K^{n}$ anzugeben.

Beispiel

Sei ${}V=K^{n}$ und seien ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i,j\leq n$ fixiert. Dann ist die Zuordnung

$({\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}})\longmapsto \Psi (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum _{ij}a_{ij}x_{i}y_{j}$

eine Bilinearform. Bei

${}a_{ij}=0\,$

für alle ${}i,j$ ist dies die Nullform; bei

${}a_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

liegt das Standardskalarprodukt vor (wobei der Ausdruck für jeden Körper einen Sinn ergibt, aber die Eigenschaft, positiv definit zu sein, gegenstandslos ist). Bei ${}n=4$ und

${}\Psi (x_{1},\ldots ,x_{4},y_{1},\ldots ,y_{4})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}\,$

spricht man von einer Minkowski-Form. Bei ${}n=2$ und

${}\Psi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,$

handelt es sich um die Determinante im zweidimensionalen Fall.

Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine Bilinearform

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt nicht ausgeartet, wenn für alle ${}v\in V,\,v\neq 0$, die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle ${}w\in V,\,w\neq 0$, die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

nicht die Nullabbildung sind.

In dieser Vorlesung werden wir für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen. Dies gilt insbesondere für Skalarprodukte. Generell besteht eine enge Beziehung zwischen Bilinearformen und linearen Abbildungen in den Dualraum.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$. Es sei

$\Theta \colon V\longrightarrow {V}^{*}$

eine lineare Abbildung.

Dann ist durch

${}\Psi (u,v)=(\Theta (u))(v)\,$

eine Bilinearform auf ${}V$ gegeben.

Beweis

Da ${}\Theta (u)\in {V}^{*}$ ist, liefert die Auswertung an einem Vektor ${}v\in V$ ein Element des Grundkörpers. Die Linearität in der zweiten Komponenten beruht direkt darauf, dass ${}\Theta (u)$ zum Dualraum gehört, und die Linearität in der ersten Komponenten beruht auf der Linearität von ${}\Theta$.

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