Es sei
eine
offene Überdeckung
eines
topologischen Raumes
. Für eine Teilmenge
setzen wir
.
Für
ist
.
Für eine
Garbe
von kommutativen Gruppen auf betrachtet man die Auswertungen zu den verschiedenen , und zu
gehören die Restriktionen
.
Für ein Element
schreiben wir dann abkürzend
-
und oft häufig einfach . Wir fixieren eine
Wohlordnung
auf
(man braucht hauptsächlich den Fall für endliches ).
Damit können wir nun den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.
Es sei
eine
offene Überdeckung
eines
topologischen Raumes
und eine
Garbe von kommutativen Gruppen
auf . Zu
setzt man
-
und definiert Gruppenhomomorphismen
-
durch
-
wobei man
gemäß der Ordnung auf schreibt. Der Komplex
-
heißt
Čech-Komplex
(zur Garbe und zur Überdeckung).
Bei
ist
-
und bei
ist
-
Wenn
ist, so ist die Indexmenge zu leer und dieser Term ist einfach . Ebenso setzt man für negatives den Komplex gleich . Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen
und
ist der Komplex gleich
-
und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen
und
ist der Komplex gleich
-
Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen zu arbeiten.
Die Elemente des -ten Kernes nennt man auch Čech-Kozykel, die Elemente des -ten Bildes auch Čech-Koränder.
Es sei
ein Tupel. Dann ist für die fixierte Indexmenge
Man beachte, dass das Vorzeichen in der Klammer von der Position von in abhängt.
Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der -ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich , wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe
Aufgabe.