Cech-Kohomologie/Einführung/Textabschnitt

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Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes . Für eine Teilmenge setzen wir . Für ist . Für eine Garbe von kommutativen Gruppen auf betrachtet man die Auswertungen zu den verschiedenen , und zu gehören die Restriktionen . Für ein Element schreiben wir dann abkürzend

und oft häufig einfach . Wir fixieren eine Wohlordnung auf (man braucht hauptsächlich den Fall für endliches ). Damit können wir nun den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist.


Definition  

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes und eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Zu setzt man

und definiert Gruppenhomomorphismen

durch

wobei man gemäß der Ordnung auf schreibt. Der Komplex

heißt Čech-Komplex (zur Garbe und zur Überdeckung).

Bei ist

und bei ist

Wenn ist, so ist die Indexmenge zu leer und dieser Term ist einfach . Ebenso setzt man für negatives den Komplex gleich . Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen und ist der Komplex gleich

und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen und ist der Komplex gleich

Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen zu arbeiten.

Die Elemente des -ten Kernes nennt man auch Čech-Kozykel, die Elemente des -ten Bildes auch Čech-Koränder.



Lemma  

Der Čech-Komplex

ist in der Tat ein Komplex.

Beweis  

Es sei ein Tupel. Dann ist für die fixierte Indexmenge

Man beachte, dass das Vorzeichen in der Klammer von der Position von in abhängt.



Definition  

Es sei eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes und eine Garbe von kommutativen Gruppen auf . Zu definiert man die -te Čech-Kohomologie als die -te Homologie des Čech-Komplexes .

Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der -ten Čech-Kohomologie nennt man auch Čech-Kohomologieklasse. Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich , wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe Aufgabe.