Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Fakt. Durch die Zuordnung

e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\longmapsto \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})

wird nach Fakt eine ${}K$ -lineare Abbildung

{\bar {\psi }}\colon H\longrightarrow W

definiert. Da ${}\psi$ multilinear und alternierend ist, wird unter ${}{\bar {\psi }}$ der Untervektorraum ${}U\subseteq H$ auf ${}0$ abgebildet. Nach Fakt gibt es daher eine ${}K$ -lineare Abbildung

{\tilde {\psi }}\colon H/U\longrightarrow W,

die mit ${}{\bar {\psi }}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$ bilden und diese auf ${}\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ abgebildet werden müssen.