Dedekindbereich/Satz von Dedekind/Textabschnitt

Korollar

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und seien ${}{\mathfrak {a}}$ und ${}{\mathfrak {b}}$ Ideale in ${}R$.

Dann gilt ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {b}}$ genau dann, wenn es ein Ideal ${}{\mathfrak {c}}$ mit ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$ gibt.

Bei ${}{\mathfrak {b}}\neq 0$ ist ${}{\mathfrak {c}}$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Die Implikation „${}\Leftarrow$“ gilt in beliebigen kommutativen Ringen. Die andere Implikation ist richtig, wenn ${}{\mathfrak {a}}=0$ ist. Wir können also annehmen, dass die beteiligten Ideale von ${}0$ verschieden sind. Die Bedingung impliziert nach Fakt  (3), dass ${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})\geq \operatorname {div} ({\mathfrak {b}})$ ist. Somit ist

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\operatorname {div} ({\mathfrak {b}})+E\,$

mit einem effektiven Divisor ${}E$. Nach Fakt übersetzt sich dies zurück zu ${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {b}}\cdot \operatorname {Id} (E)$, so dass mit ${}{\mathfrak {c}}=\operatorname {Id} (E)$ die rechte Seite erfüllt ist.

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DDR-Briefmarke

Die folgende Aussage heißt Satz von Dedekind. Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung.

Satz

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ ein Ideal in ${}R$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung

${}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

Beweis

Wir benutzen Fakt, also die bijektive Beziehung zwischen Idealen ${}\neq 0$ und effektiven Divisoren. Auf der Seite der Divisoren haben wir offenbar eine eindeutige Darstellung

${}\operatorname {div} ({\mathfrak {a}})=\sum _{i=1}^{k}r_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,$

mit geeigneten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}$. Wendet man auf diese Darstellung die Abbildung ${}D\mapsto \operatorname {Id} (D)$ an, so erhält man links das Ideal zurück. Es genügt also zu zeigen, dass der Divisor rechts auf das Ideal ${}{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ abgebildet wird. Dies folgt aber direkt aus Fakt.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$.

Dann gibt es eine Produktdarstellung für das Hauptideal

${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,$

mit (bis auf die Reihenfolge) eindeutig bestimmten Primidealen ${}{\mathfrak {p}}_{i}\neq 0$ aus ${}R$ und eindeutig bestimmten Exponenten ${}r_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

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