Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}N$ ein Einheitsnormalenfeld auf ${}Y$, das die Orientierung festlegt. Dann nennt man

   $L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

   die Weingartenabbildung in ${}T_{P}Y$.

2. Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$-dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

   $\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

   über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

   ${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

   induzieren.

3. Das Wegintegral ist durch

   ${}\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega \,$

   definiert.

4. Eine ${}n$-Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt eine positive Volumenform, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   (mit $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und Koordinatenfunktionen $x_{1},\ldots ,x_{n}$) in der lokalen Darstellung der Differentialform

   ${}\alpha _{*}\omega =fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,$

   die Funktion ${}f$ überall positiv ist.

5. Eine differenzierbare Differentialform ${}\omega$ auf ${}M$ heißt geschlossen, wenn ihre äußere Ableitung ${}d\omega =0$ ist.
6. Man nennt ${}\pi _{\text{vert}}\circ TT(\gamma )$ die die tangentiale Beschleunigung von ${}\gamma$, wobei die Projektion vom Levi-Civita-Zusammenhang herrührt.

Zur gelösten Aufgabe