Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Dann ist die Krümmung von ${}\gamma$ in ${}t$ gleich

   ${}\kappa (t)=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(t),N(t)\right\rangle =\pm \Vert {\gamma ^{\prime \prime }(t)}\Vert \,,$

   wobei

   ${}N(t)={\begin{pmatrix}-\gamma _{2}'(t)\\\gamma _{1}'(t)\end{pmatrix}}\,$

   ein Einheitsnormalenvektor in ${}\gamma (t)$ ist.
2. Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ eine orientierte Fläche und sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare lokale Parametrisierung von ${}Y$ mit den Parametern ${}u,v$. Es sei ${}{\left(g_{ij}\right)}$ die erste Fundamentalmatrix auf ${}V$.

   Dann gilt für die Gaußsche Krümmung unter Verwendung der Christoffelsymbole die Beziehung

   $K={\frac {1}{g_{11}}}{\left(\partial _{2}\Gamma _{11}^{2}-\partial _{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-{\left(\Gamma _{12}^{2}\right)}^{2}\right)}\,.$

3. Es sei ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ${}\delta M$. Dann ist der Flächeninhalt von ${}M$ gleich

   ${}\lambda ^{2}(M)=\int _{\partial M}xdy=-\int _{\partial M}ydx\,.$

Zur gelösten Aufgabe