Hyperfläche/Parametrisierung/Normalenfeld/Weingartenabbildung/Textabschnitt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y$

mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$, man kann also ${}\varphi ^{-1}$ als eine Karte für ${}Y$ auffassen. Dabei ist für ${}Q\in V$ mit ${}\varphi (Q)=P$

${}T_{P}Y=\operatorname {bild} \left(D\varphi \right)_{Q}\,,$

es liegt also ein linearer Isomorphismus

$\left(D\varphi \right)_{Q}\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow T_{P}Y$

vor, der den Tangentialraum ${}T_{P}Y$ beschreibt. Die Standardbasisvektoren ${}e_{i}$ werden auf ${}\partial _{i}\varphi (Q)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial u_{i}}}(Q)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{n}}{\partial u_{i}}}(Q)\end{pmatrix}}$ abgebildet und bilden eine Basis des Tangentialraumes. Wenn man ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit der von der euklidischen Struktur des ${}\mathbb {R} ^{n}$ induzierten riemannschen Struktur versieht, so erhält man die Funktionen

${}g_{ij}(Q)=\left\langle \partial _{i}\varphi (Q),\partial _{j}\varphi (Q)\right\rangle \,,$

die man zur ersten Fundamentalmatrix (metrischen Fundamentalmatrix)

${}G={\left(g_{ij}\right)}\,$

zusammenfasst. Die erste Fundamentalmatrix ist durch die riemannsche Struktur von ${}Y$ vollständig bestimmt.

Die Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$

kann man bezüglich der Basis ${}\partial _{i}\varphi (Q)$ beschreiben. Dies geschieht am besten, wenn man die sogenannte zweite Fundamentalmatrix einführt. Dazu sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, was unter Rückgriff auf die beschreibende Funktion ${}f$ möglich ist. Das Einheitsnormalenfeld eingeschränkt auf ${}U$ kann man unmittelbar auf ${}V$ auffassen. Wegen der vorausgesetzten zweifachen stetigen Differenzierbarkeit von ${}f$ und der von ${}\varphi$ ist das Einheitsnormalenfeld auf ${}V$ differenzierbar. Wir definieren.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Dann setzt man

${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\partial _{j}\varphi ,N\right\rangle \,.$

Die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$ ist die (von ${}Q\in V$) abhängige Matrix

${}H={\left(h_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n-1}\,.$

In dieser Definition wird auf das Einheitsnormalenfeld und über das Skalarprodukt auf die riemannsche Struktur von ${}Y$ Bezug genommen. Die zweite Fundamentalmatrix ist nach dem Satz von Schwarz symmetrisch.

Lemma

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}f\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},\ldots ,u_{n-1}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen.

Dann gilt

${}h_{ij}=-\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle \,.$

Beweis

Da das Einheitsnormalenfeld senkrecht auf den Tangentialräumen an ${}Y$ steht, gilt

${}\left\langle \partial _{i}\varphi ,N\right\rangle =0\,.$

Daraus folgt

${}0=\left\langle \partial _{j}\partial _{i}\varphi ,N\right\rangle +\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}N\right\rangle \,,$

was die erste Gleichung ergibt. Die zweite folgt direkt aus der Definition der Weingartenabbildung.

$\Box$

Wir beschränken uns nun auf den Fall ${}n=3$. Es liegt die erste Fundamentalmatrix

${}{\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}\,$

mit

${}g_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,\partial _{j}\varphi \right\rangle \,$

vor, wobei wir im jetzigen Kontext die erste Bezeichnung vorziehen, und die zweite Fundamentalmatrix

${\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}$

vor. Für die in der folgenden Aussage aufgeführten Voraussetzungen sagt man auch kurz, dass eine orientierte Fläche oder eine stückweise parametrisierte orientierte Fläche im ${}\mathbb {R} ^{3}$ vorliegt.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}f\colon T\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=f^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}f$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow Y,$

${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, eine zweifach differenzierbare Parametrisierung einer offenen Menge ${}U\subseteq Y$ mit den Parametern ${}u_{1},u_{2}$. Es sei ${}Y$ durch ein Einheitsnormalenfeld ${}N$ orientiert, wobei wir ${}N$ als Feld auf ${}V$ auffassen. Es sei ${}G$ die erste und ${}H$ die zweite Fundamentalmatrix zu ${}\varphi$. Zu ${}P=\varphi (Q)$ sei ${}W$ die Matrix, die die Weingartenabbildung

$T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y$

bezüglich der Basis ${}\partial _{1}\varphi (Q)$ und ${}\partial _{2}\varphi (Q)$ von ${}T_{P}Y$ beschreibt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}H=G\cdot W\,.$

2. Es ist

   ${}W=G^{-1}H\,.$

3. Es ist

   $\partial _{1}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,$

   und

   $\partial _{2}N=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\,$

4. Für die Gaußkrümmung von ${}Y$ gilt

   ${}K={\frac {\det H}{\det G}}\,.$

Beweis

1. Es ist nach Definition von ${}W$

   ${}L_{P}(\partial _{1}\varphi )=w_{11}\partial _{1}\varphi +w_{21}\partial _{2}\varphi \,$

   und

   ${}L_{P}(\partial _{2}\varphi )=w_{12}\partial _{1}\varphi +w_{22}\partial _{2}\varphi \,.$

   Daher ist nach Fakt

   ${}h_{ij}=\left\langle \partial _{i}\varphi ,L_{P}(\partial _{j}\varphi )\right\rangle =\left\langle \partial _{i}\varphi ,w_{1j}\partial _{1}\varphi +w_{2j}\partial _{2}\varphi \right\rangle =w_{1j}g_{i1}+w_{2j}g_{i2}\,.$

2. Das folgt unmittelbar aus (1) durch Multiplikation mit ${}G^{-1}$ von links.
3. Es ist

   ${}\partial _{i}N=-L(\partial _{i}\varphi )=-w_{1i}\partial _{1}\varphi -w_{2i}\partial _{2}\varphi \,$

   und somit folgt die Aussage aus (2) unter Berücksichtigung von

   ${}G^{-1}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}\,.$

   Damit ist

   ${}W={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{12}&h_{22}\end{pmatrix}}\,$

   und somit

   ${}{\begin{aligned}\partial _{1}N&=-w_{11}\partial _{1}\varphi -w_{21}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{11}-g_{12}h_{12}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{11}+g_{11}h_{12}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$

   und

   ${}{\begin{aligned}\partial _{2}N&=-w_{12}\partial _{1}\varphi -w_{22}\partial _{2}\varphi \\&=-{\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}^{2}}}{\left({\left(g_{22}h_{12}-g_{12}h_{22}\right)}\partial _{1}\varphi +{\left(-g_{12}h_{12}+g_{11}h_{22}\right)}\partial _{2}\varphi \right)}\end{aligned}}$

4. Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung, daher folgt die Aussage aus (2) mit dem Determinantenmultiplikationssatz.

$\Box$