Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei

   $N\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ein auf einer offenen Umgebung ${}Y\subseteq U$ definiertes Einheitsnormalenfeld zu ${}Y$ und sei ${}P\in Y$.

   Dann ist für jeden tangentialen Vektor ${}v\in T_{P}Y$

   ${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(v\right)}=-\kappa (P)v\,,$

   wobei ${}\kappa (P)$ die Krümmung

   einer Bogenparametrisierung von ${}Y$ ist, die mit der durch ${}v,N(P)$ gegebenen Orientierung übereinstimmt.
2. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Es sei

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   ein Diffeomorphismus mit der Mannigfaltigkeit ${}L$ und ${}S\subseteq L$ eine messbare Teilmenge.

   Dann ist

   ${}\int _{S}\varphi ^{*}\omega =\int _{\varphi (S)}\omega \,.$

3. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen und sei ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Dann ist die Gaußkrümmung von ${}Y$ gleich der Schnittkrümmung von ${}Y$.

Zur gelösten Aufgabe