Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Rand/Orientierung/Textabschnitt

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei mit der durch die Standardvektoren ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ gegebenen Orientierung versehen, ferner sei der Halbraum

${}H_{\leq 0}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\leq 0\right\}}\,$

als der „innere Halbraum“ ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene (also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit $H_{\leq 0}$)

${}E={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}=0\right\}}\,$

durch die Basis ${}e_{2},\ldots ,e_{n}$ definierte Orientierung die Orientierung durch die äußere Normale. Eine beliebige Basis ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ von ${}E$ repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor ${}v\in H_{+}$ (das bedeutet, nach „außen“, also raus aus dem Halbraum zu zeigen) die Basis ${}v,v_{2},\ldots ,v_{n}$ (also ${}v$ zuerst) von ${}\mathbb {R} ^{n}$ die Ausgangsorientierung repräsentiert .

Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum ${}T_{P}M$ in einem Randpunkt ${}P$ eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum ${}T_{P}(\partial M)$ des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine „innere“ und eine „äußere Hälfte“ des Tangentialraumes.

Satz

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, die eine Orientierung trage.

Dann trägt auch die Randmannigfaltigkeit eine kanonische Orientierung, nämlich diejenige, die auf jeder Karte durch die äußere Normale festgelegt ist.

Beweis

Für jede (orientierte) Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

zu ${}U\subseteq M$ offen wird die induzierte Karte

$U\cap \partial M\longrightarrow V\cap \partial H$

mit der Orientierung durch die äußere Normale auf ${}\partial H$ versehen. Nach Voraussetzung besitzen sämtliche Kartenwechsel zu ${}M$ in jedem Punkt eine positive Fundamentaldeterminante bezüglich der die Orientierungen repräsentierenden Basen, und wir müssen zeigen, dass dies auch für die induzierten Kartenwechsel gilt. Dabei können wir von einem offenen Kartengebiet ${}P\in U\subseteq M$ und zwei Karten

$\alpha _{1}\colon U\longrightarrow V_{1}$

und

$\alpha _{2}\colon U\longrightarrow V_{2}$

ausgehen und die Übergangsabbildung

$\varphi =\alpha _{2}\circ \alpha _{1}^{-1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit offenen Mengen ${}V_{1}\subseteq H_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V_{2}\subseteq H_{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ betrachten. Es sei ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\partial H_{1}$ und ${}v_{1}\in \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass ${}v_{1}$ die äußere Normale von ${}H_{1}$ repräsentiert, dass also ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ die Orientierung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert (es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ die zugehörigen Koordinaten); ebenso sollen ${}w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}\in H_{2}$ die entsprechenden Eigenschaften erfüllen. Wir schreiben die Fundamentalmatrix von ${}\varphi$ bezüglich dieser Basen hin, also die Matrix mit den Einträgen

${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{1\leq i,j\leq n}.$

Die Determinante davon ist nach Voraussetzung positiv. Wegen ${}\varphi (\partial H_{1})\subseteq \partial H_{2}$ gilt für einen Punkt ${}Q\in \partial H_{1}$ die Beziehung

${}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j}}}(Q)=0\,$

für ${}j=2,\ldots ,n$. Nach dem Entwicklungssatz hängt daher das Vorzeichen der Determinante der Matrix

${\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(Q)\right)}_{2\leq i,j\leq n},$

die die Fundamentalmatrix der Übergangsabbildung der Randkarten

$U_{1}\cap \partial H_{1}\longrightarrow U_{2}\cap \partial H_{2}$

(bezüglich der Basen ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{2},\ldots ,w_{n}$) im Punkt ${}Q$ ist, nur von ${}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)$ ab. Dabei gilt mit ${}Q=(0,a_{2},\ldots ,a_{n})$ nach Fakt die Beziehung

${}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}(Q)=\operatorname {lim} _{\epsilon \rightarrow 0}\,{\frac {\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})}{\epsilon }}\,.$

Da ${}v_{1}$ die äußere Normale repräsentiert, ist bei negativem (betragsmäßig hinreichend kleinen) ${}\epsilon$ der Vektor mit den Koordinaten ${}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})\in H_{1}$. Daher muss der Bildvektor zu ${}H_{2}$ gehören und daher ist wiederum ${}\varphi _{1}(\epsilon ,a_{2},\ldots ,a_{n})<0$. Also ist dieser Quotient ${}\geq 0$, was dann auch für den Limes gilt. Da ein Diffeomorphismus vorliegt, muss der Limes sogar positiv sein, woraus die Aussage folgt.

$\Box$