Ebene projektive Kurve/Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom ${}F\in K[X,Y,Z]$.

Zu einer ebenen affinen Kurve ${}V(G)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ (in den Koordinaten ${}X,Y$) liegt insgesamt die Situation

${}V=V(G)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}=D_{+}(Z)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

vor. Die affine Kurve ist abgeschlossen in der affinen Ebene, aber nicht in der projektiven Ebene, dort kommen noch einzelne Punkte hinzu. Den (Zariski-topologischen) Abschluss von ${}V$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ nennt man den projektiven Abschluss der Kurve.

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zu einer ebenen affinen Kurve

${}V=V(G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

mit ${}G\in K[X,Y]$ wird

der Zariski-Abschluss von ${}V$ in ${}{\mathbb {P} }_{K}^{2}$ durch ${}C=V_{+}(H)$ beschrieben, wobei ${}H$ die Homogenisierung von ${}G$ in ${}K[X,Y,Z]$ bezeichnet.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, da nach Aufgabe die Homogenisierung eines Hauptideals das durch die Homogenisierung des Erzeugers erzeugte Hauptideal ist.

$\Box$

Die vorstehende Aussage gilt nicht ohne die Voraussetzung, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist, siehe Aufgabe. Wir werden aber generell ${}V_{+}(H)$ mit der Homogenisierung ${}H$ als richtige projektive Version der affinen Kurve ansehen, da dieses Konzept sich bei Körpererweiterungen gut verhält.

Bemerkung  

Es sei ${}G\in K[X,Y]$ mit der Homogenisierung ${}F\in K[X,Y,Z]$. Man gewinnt ${}G$ aus ${}F$ zurück, indem man ${}Z$ durch ${}1$ ersetzt. ${}G$ beschreibt dann den Durchschnitt ${}D_{+}(Z)\cap V_{+}(F)$. Die beiden anderen affinen Ausschnitte, also

$D_{+}(X)\cap V_{+}(F)\,\,{\text{ und }}\,\,D_{+}(Y)\cap V_{+}(F),$

sind gleichberechtigt und liefern insbesondere affine Umgebungen für die Punkte von ${}C=V_{+}(F)$, die nicht in ${}D_{+}(Z)$ liegen.

Von der affinen Kurve ${}V(G)$ aus gesehen sind die Punkte im Unendlichen die Punkte aus ${}V_{+}(F)\cap V_{+}(Z)$. Das ist der Schnitt der projektiven Kurve mit einer projektiven Geraden. Dies ist eine endliche Menge, es sei denn die projektive Gerade ist eine Komponente der Kurve, was aber nicht sein kann, wenn man mit einer affinen Kurve startet (da ${}Z$ kein Teiler der Homogenisierung ist). Zur Berechnung der unendlich fernen Punkte betrachtet man die homogene Zerlegung

$G=G_{d}+\cdots +G_{m}{\text{ mit }}m\leq d$

und die Homogenisierung

${}F=G_{d}+G_{d-1}Z+\cdots +G_{m}Z^{d-m}\,.$

Zur Berechnung des Durchschnittes mit ${}V_{+}(Z)$ muss man ${}Z=0$ setzen, so dass man die Nullstellen des homogenen Polynoms ${}G_{d}(X,Y)$ (in zwei Variablen) berechnen muss. Der Grad ${}d$ gibt also sofort eine Schranke, wie viele unendlich ferne Punkte es maximal auf der Kurve geben kann.

Beispiel

Wir betrachten den Standardkegel

${}V(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,.$

Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve (vom Grad zwei)

${}V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene ${}E\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ nennt man Kegelschnitte. Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene ${}E$, auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene ${}D_{+}(L)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ (wobei ${}L$ eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu ${}E$ beschreibt). Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve ${}V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})$. Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte.

Die Schnitte mit einer Ebenen durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen ${}V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\cap V_{+}(L)$.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}d\geq 1$. Dann heißt die ebene projektive Kurve

${}V(X^{d}+Y^{d}+Z^{d})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

die Fermat-Kurve vom Grad ${}d$.

Für ${}d=1$ handelt es sich einfach um eine projektive Gerade.