Ebene projektive Kurve/Körper/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom .

Zu einer ebenen affinen Kurve (in den Koordinaten ) liegt insgesamt die Situation

vor. Die affine Kurve ist abgeschlossen in der affinen Ebene, aber nicht in der projektiven Ebene, dort kommen noch einzelne Punkte hinzu. Den (Zariski-topologischen) Abschluss von in nennt man den projektiven Abschluss der Kurve.



Korollar  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zu einer ebenen affinen Kurve

mit wird

der Zariski-Abschluss von in durch beschrieben, wobei die Homogenisierung von in bezeichnet.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt, da nach Aufgabe die Homogenisierung eines Hauptideals das durch die Homogenisierung des Erzeugers erzeugte Hauptideal ist.


Die vorstehende Aussage gilt nicht ohne die Voraussetzung, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist, siehe Aufgabe. Wir werden aber generell mit der Homogenisierung als richtige projektive Version der affinen Kurve ansehen, da dieses Konzept sich bei Körpererweiterungen gut verhält.

Bemerkung  

Es sei mit der Homogenisierung . Man gewinnt aus zurück, indem man durch ersetzt. beschreibt dann den Durchschnitt . Die beiden anderen affinen Ausschnitte, also

sind gleichberechtigt und liefern insbesondere affine Umgebungen für die Punkte von , die nicht in liegen.

Von der affinen Kurve aus gesehen sind die Punkte im Unendlichen die Punkte aus . Das ist der Schnitt der projektiven Kurve mit einer projektiven Geraden. Dies ist eine endliche Menge, es sei denn die projektive Gerade ist eine Komponente der Kurve, was aber nicht sein kann, wenn man mit einer affinen Kurve startet (da kein Teiler der Homogenisierung ist). Zur Berechnung der unendlich fernen Punkte betrachtet man die homogene Zerlegung

und die Homogenisierung

Zur Berechnung des Durchschnittes mit muss man setzen, so dass man die Nullstellen des homogenen Polynoms (in zwei Variablen) berechnen muss. Der Grad gibt also sofort eine Schranke, wie viele unendlich ferne Punkte es maximal auf der Kurve geben kann.



Beispiel  

Wir betrachten den Standardkegel

Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve (vom Grad zwei)

auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene nennt man Kegelschnitte. Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene , auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene (wobei eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu beschreibt). Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve . Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte.

Die Schnitte mit einer Ebenen durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen .



Definition  

Es sei ein Körper und . Dann heißt die ebene projektive Kurve

die Fermat-Kurve vom Grad .

Für handelt es sich einfach um eine projektive Gerade.