Einer der Höhepunkte der linearen Algebra ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable durch die Matrix und muss die Potenzen als das -te Matrixprodukt von mit sich selbst verstehen und die Addition als die
(komponentenweise)
Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar wird dabei als das -fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom
und die Matrix
ist also
Zu einer fixierten Matrix
gibt es also eine Einsetzungsabbildung
Dies ist
- ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu
-
ein
Ringhomomorphismus,
d.h. es gelten die Beziehungen
Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.
Wir fassen die Matrix als eine Matrix auf, deren Einträge im
Körper liegen. Die
adjungierte Matrix
liegt ebenfalls in . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
Determinanten
von -Untermatrizen von . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
mit Matrizen
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Fakt
gilt
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von aufteilen, dann ist
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit und erhalten das Gleichungssystem
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir , da jeder Teilsummand einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
.