Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume

Diese Seite beinhaltet die Vektorräume, die in dem Kurs verwendet werden.

Defintion: Vektorraum

Sei $\mathbb {K}$ ein Körper und $V=(V,+)$ eine kommutative Gruppe. Man nennt $V$ einen $\mathbb {K}$-Vektorraum, wenn eine Abbildung

$\cdot :\mathbb {K} \times V\rightarrow V$ mit $(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v$ ,

definiert ist, die die folgenden Axiome erfüllt $\lambda ,\mu \in \mathbb {K}$ und $v,w\in V$ beliebig .

• (ES) $1\cdot v=v$ (Einselement skalare Multiplikation)
• (AMS) $\lambda \cdot (\mu \cdot v)=(\lambda \cdot \mu )\cdot v.$ (assoziative Multiplikation mit Skalaren)
• (DV) $\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w.$ (Vektoren distributiv)
• (DS) $(\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v.$ (Skalare distributiv)

Endlichdimensionale Vektorräume 1

Sei $n\in \mathbb {N}$, dann ist

• $\mathbb {Q} ^{n}$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum der Dimension $n$,
• $\mathbb {R} ^{n}$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum der Dimension $n$,
• $\mathbb {C} ^{n}$ ein endlichdimensionaler $\mathbb {C}$-Vektorraum der Dimension $n$,

Aufgaben

• (Unterscheidung von Verknüpfungen - $\mathbb {K}$-Algebra) Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein $\mathbb {K}$-Vektorraum und eine $\mathbb {K}$-Algebra? Unterscheiden Sie drei Multiplikationszeichen in einer $\mathbb {K}$-Algebra und identifizieren Sie in den definierenden Eigenschaften des $\mathbb {K}$-Vektorraums bzw. der $\mathbb {K}$-Algebra, welche Multiplikation gemeint ist.
  • Multiplikation im Körper $\mathbb {K}$,
  • Multiplikation mit Skalaren als äußere Verknüpfung,
  • Multiplikation von Elementen aus dem Vektorraum als innere Verknüpfung in einer $\mathbb {K}$-Algebra,
• (Unterscheidung von Verknüpfungen - Hilbert-Raum) Sei $\mathbb {K} :=\mathbb {R}$ oder $\mathbb {K} :=\mathbb {C}$. Durch welche Eigenschaften unterscheiden sich ein $\mathbb {K}$-Vektorraum und ein Hilbertraum über dem Körper $\mathbb {K}$? Unterscheiden Sie drei Verküpfungen in einem $\mathbb {K}$-Hilbertraum und vergleichen dabei auch die definierenden Eigenschaften einer Multiplikation als innere Verknüpfung in einer $\mathbb {K}$-Algebra mit den Eigenschaften eines Skalarproduktes in einem Hilbert-Raum über dem Körper $\mathbb {K}$. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede stellen Sie fest?

Endlichdimensionale Vektorräume von Matrizen 2

Seien $m,n\in \mathbb {N}$, dann ist

• $Mat(m\times n,\mathbb {Q} )$ ($m\times n$-Matrizen mit Komponenten in $\mathbb {Q}$) ein endlichdimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum der Dimension $m\cdot n$,
• $Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ ($m\times n$-Matrizen mit Komponenten in $\mathbb {R}$) ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum der Dimension $m\cdot n$,
• $Mat(m\times n,\mathbb {C} )$ ($m\times n$-Matrizen mit Komponenten in $\mathbb {C}$) ein endlichdimensionaler $\mathbb {C}$-Vektorraum der Dimension $m\cdot n$,

Unendlichdimensionale Vektorräume von Funktionen 1

Sei ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ die Menge der stetigen (engl. continuous) Funktionen von dem Intervall $[a.b]$ in den Körper $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ als Wertebereich. Dann ist

• ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {Q} )$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb {Q}$-Vektorraum,
• ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum,
• ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {C} )$ eine unendlichdimensionaler $\mathbb {C}$-Vektorraum.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Funktionen 2

Mit $V={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ und $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ist die innere Verknüpfung wie folgt definiert:

$+:V\times V\to V$ mit $(f,g)\mapsto f+g:=h$ und $h(x):=f(x)+g(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Die äußere Verknüfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes $x\in [a,b]$ definert:

$\cdot :\mathbb {K} \times V\to V$ mit $(\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h$ und $h(x):=\lambda \cdot f(x)$ für alle $x\in [a,b]$.

Stetige reellwertige Funktionen

Die Kompaktheit des Definitionsbereiches $[a,b]$ macht den Raum ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $[a,b]$ nach $\mathbb {R}$ mit der Norm

$\|f\|:=\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

zu einem normierten Vektorraum (siehe auch Normen, Metriken, Topologie). Mit den Halbnormen

$\|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx$

wird $({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 3

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper, dann bezeichnet

• $\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\,|\,a_{n}\in \mathbb {K} \,{\mbox{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}$ die Menge der Folgen mit Folgengliedern in $\mathbb {K}$.
• $c_{oo}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{n_{0}\in \mathbb {N} }\forall _{n\geq n_{0}}\,:\,a_{n}=0\}$, die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$, die ab einer Indexschranke alle Komponenten der Folge 0 sind.
• $c_{o}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=0\}$, die Menge der Nullfolgen
• $c(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{a_{0}\in \mathbb {K} }\,:\,\lim _{n\to \infty }a_{n}=a_{0}\}$, die Menge der konvergenten Folgen in $\mathbb {K}$.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 4

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper, dann bezeichnet

• $\ell _{1}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty \}$, die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$, die absolute konvergent sind. $\ell _{1}(\mathbb {K} )$ ist ein normierter Norm mit $\|a\|:=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$).
• $\ell _{p}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \}$, die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$, die absolut-p-summierbar sind. Für $1\leq p<\infty$ ist, der Raum normierbar. Für $0<p<1$ ist der Raum noch metrisierbar mit $d_{p}((a_{n})_{n},(b_{n})_{n}):=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-b_{n}|^{p}$,
• $\ell _{\infty }(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\exists _{C>0}\,:\,\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|<C\}$, die Menge der beschränkten Folgen in $\mathbb {K}$ als normierbarer Raum.

Unendlichdimensionale Vektorräume von Folgen 5

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper und $(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge mit $0<p_{n}\leq 1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , dann bezeichnet

• $\ell (\mathbb {K} ,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }):=\{(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p_{k}}<\infty \}$, die Menge der Folgen in $\mathbb {K}$, für die Folge $\left(|a_{k}|^{p_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ absolute konvergent sind.
• Auf $\ell (\mathbb {K} ,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ definiert man die folgenden $p$-Halbnormen $\|a\|_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p_{n}}$ für Folgen $a=(a_{k})_{k\in \mathbb {N} .}$
• $\ell (\mathbb {K} ,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} })$ ist ein pseudokonvexer Vektorraum mit dem $p$ Halbnormensystem $\|\cdot \|_{\mathbb {N} }$
• Man beachte, dass für die $p$-Halbnorm mit dem Index $n$ der Exponent für alle Folgenindizes $k\in \mathbb {N}$ fest ist.

Folgenräume in normierten Räumen

Sei $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Vektorraum. Wir betrachten nun Folgen in dem Vektorraum $V$:

• $c_{oo}(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der Folgen in dem Vektorraum $V$, bei der ab einer Indexschranke alle Folgenglieder gleich dem Nullvektor aus $V$.
• $c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der Nullfolgen, wobei die Folgen bzgl. der Norm $\|\cdot \|)$ gegen den Nullvektor konvergieren, d.h.:

$(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{o}(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}\|<\varepsilon$

• $c(V)\in V^{\mathbb {N} }$ ist die Menge der konvergenten Folgen in $V$, wobei die Folgen bzgl. der Norm $\|\cdot \|)$ gegen den Vektor $v_{o}\in V$ konvergieren, d.h.:

$(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c(V)\in V^{\mathbb {N} }\quad :\Leftrightarrow \quad \exists _{v_{o}\in V}\forall _{\varepsilon >0}\exists _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\forall _{n>n_{\varepsilon }}\,:\quad \|v_{n}-v_{o}\|<\varepsilon$

Die Folgenräume sind selbst wieder normierbar (z.B. mit $\|(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{V}:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\|v_{n}\|$)

Vektorraum von Polynomen

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ ein Körper und $(V,\|\cdot \|$ ein normierter $\mathbb {K}$-Vektorraum, dann bezeichnet

$V[x]:=\left\{p\,\left|\,(p_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{oo}(V)\wedge p(x):=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}\cdot x^{n}\right.\right\}$ die Menge der Polynome mit Koeffizienten in $V$.

Für ein spezielles $x\in \mathbb {K}$ ist $p(x)\in V$ eine Linearkombination aus Vektoren von $V$, wobei die Koeffzienten der Multiplikation mit Skalaren Potenzen $x^{n}\in \mathbb {K}$ von einem Skalar $x\in \mathbb {K}$ sind.

Innere und äußere Verknüpfung auf Vektorräumen von Folgen 4

Die innere und äußere Verknüpfungen auf den Folgenräumen sind jeweils komponentenweise definiert, analog zur Vektorraum Addition und Multiplikation mit Skalaren im $\mathbb {Q} ^{n}$, $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$. Mit $V=\mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ und $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ ist die innere Verknüpfung mit $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $c:=(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wie folgt definiert:

$+:V\times V\to V$ mit $(a,b)\mapsto a+b:=c$ und $c_{n}:=a_{n}+b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Komponenten der Folge mit dem Skalar definert:

$\cdot :\mathbb {K} \times V\to V$ mit $(\lambda ,a)\mapsto \lambda \cdot a:=c$ und $c_{n}:=\lambda \cdot a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Aufgaben für Lernende

• Betrachten Sie den Zahlenmenge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ als Vektorraum über dem Körper $\mathbb {Q}$. Ist $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Q} )$ ein endlichdimensionaler oder ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper $\mathbb {Q}$? Begründen Sie Ihre Antwort!
• Zeigen Sie, dass die von $v_{1}=3$ und $v_{2}={\sqrt {3}}$ aufgespannten Untervektorräume $U$ in dem $\mathbb {Q}$-Vektorraum $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\mathbb {Q} )$ als Schnittmenge mit ${\sqrt {5}}\cdot \mathbb {Q}$ nur den Nullvektor $0$ enthalten!
• Analysieren Sie die Mengeninklusion bei den Folgenräumen und betrachtet Sie auch die Konvergenzeigenschaften von Reihen, die aus den Folgen generiert werden können mit:

$\quad \ell ^{p}(\mathbb {K} ):=\left\{(x_{n})_{n}\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,:\,\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty \right\}$.

Welche Teilmengenbeziehung besteht zwischen $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$ und $c_{o}(\mathbb {K} )$? Verallgemeinern Sie diesen Ansatz auf $\ell ^{1}(V)$ und $c_{o}(V)$ für einen normierten Raum $(V,\|\cdot \|)$! Ist das ebenfalls für einen metrischen Raum $(V,d)$ möglich?

Siehe auch

• Banachalgebra
• Komplexe Zahlen
• Netze (Mathematik)
• Folgenräume
• Cauchy-Folgen
• Lineare Abbildung
• Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen
• Ideal (Algebra)
• Topologische Invertierbarkeitskriterien
• Maschinelles Lernen

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