Funktionentheorie/Singularitäten/Hebbar und Pole/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sagt man, dass ${}f$ eine isolierte Singularität im Punkt ${}a$ besitzt.

In dieser Situation gibt es nach Fakt stets eine Laurent-Reihe, die das Verhalten der Funktion um den Punkt ${}a$ beschreibt.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ eine hebbare Singularität besitzt, wenn es eine holomorphe Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ${}U$ gibt, die ${}f$ fortsetzt.

In dieser Situation besitzt die Funktion ${}f$ im Punkt ${}a$ einen wohlbestimmten Wert, nämlich den Wert ${}{\tilde {f}}(a)$ der holomorphen Fortsetzung ${}{\tilde {f}}$. Statt von einer isolierten Singularität spricht man auch von einer Undefiniertheitsstelle oder (im nicht hebbaren Fall) von einer Unstetigkeitsstelle.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine hebbare Singularität.
2. ${}\vert {f}\vert$ ist in einer offenen Umgebung von ${}a$ beschränkt.
3. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ sind alle Koeffizienten zu negativen Indizes gleich ${}0$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt direkt aus Fakt. Die Äquivalenz von (1) und (3) ist klar, da eine Potenzreihe das gleiche ist wie eine Laurent-Reihe, deren Koeffizienten zu negativen Indizes gleich ${}0$ sind.

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Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Punkt ${}a$ einen Pol besitzt, wenn ${}f$ keine hebbare Singularität ist, und es ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ derart gibt, dass ${}(z-a)^{n}f$ zu einer holomorphen Funktion auf ${}U$ fortsetzbar ist.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ einen Pol.
2. ${}\vert {f(z)}\vert$ divergiert für ${}z\rightarrow a$ bestimmt gegen ${}\infty$.
3. In der Laurent-Reihe zu ${}f$ in ${}a$ sind alle Koeffizienten zu Indizes unterhalb eines bestimmten Index gleich ${}0$, und mindestens ein Koeffizient zu einem negativen Index ist nicht gleich ${}0$.
4. ${}f$ ist in ${}a$ meromorph, aber nicht holomorph.

Beweis

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g$ auf ${}U$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann divergiert ${}\vert {f(z)}\vert$ für ${}z\rightarrow a$ gegen ${}\infty$, da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion ${}{\frac {1}{f}}$ auf einer offenen Kreisscheibe von ${}a$, worauf ${}f$ keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,

${}{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}(z-a)^{k}\,.$

Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}{\frac {1}{f(z)}}$ für ${}z\rightarrow a$ gegen ${}0$ konvergiert. Daher ist nach Fakt ${}{\frac {1}{f}}$ eine holomorphe Funktion, d.h.

${}{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {N} }d_{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{m}g(z)\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g(z)$ mit ${}g(a)\neq 0$, ${}m\geq 1$. Durch invertieren folgt

${}f(z)=(z-a)^{-m}{\frac {1}{g}}\,,$

wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von ${}a$ definiert und holomorph ist.

Von (1) nach (3). Aus der Darstellung

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$

aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung

${}g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k}\,$

ergibt sich

${}f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k-n}\,.$

Unterhalb von Index ${}-n$ sind alle Koeffizienten gleich ${}0$, und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss ${}\neq 0$ sein, sonst wäre ${}f$ holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form

${}f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$

mit ${}(z-a)^{n}$ multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in ${}a$ zu erreichen.

Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.

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